Ряд підгруп

математичний термін

У математиці ряд підгру́п — це ланцюжок підгруп вигляду . Ряди підгруп можуть спростити вивчення групи , зводячи його до вивчення підгруп цієї групи та до вивчення взаємозв'язків між ними. Ряди підгруп можуть формувати важливі інваріанти даної групи .

ВизначенняРедагувати

Нормальний ряд, субнормальний рядРедагувати

Субнорма́льний ряд (називають також субнорма́льною вежею, субінваріа́нтним ря́дом, субнорма́льною матрьошкою або просто рядом) групи   — це послідовність підгруп

 

кожна з яких є нормальною підгрупою в більшій підгрупі, що йде безпосередньо за нею, тобто  . Якщо, крім того, кожна з підгруп   нормальна в групі  , то ряд називають нормальним.

Фактор-групи   називають фактор-групами ряду.

Довжина рядуРедагувати

Ряд із додатковою властивістю   для всіх   називають рядом без повторів. Довжина ряду — це кількість власних включень  . Якщо ряд не має повторів, то його довжина дорівнює  .

Довжина субнормального ряду — це число нетривіальних фактор-груп ряду. Кожна нетривіальна група має субнормальний ряд довжини 1, а саме ряд  . Кожна власна нормальна підгрупа визначає субнормальний ряд довжини 2. Для простих груп тривіальний ряд довжини 1 є єдиним можливим субнормальним рядом.

Висхідні та низхідні рядиРедагувати

Ряди підгруп можуть бути записані у висхідному порядку

 

або в низхідному порядку

 

Для скінченного ряду несуттєво, в якій формі він записаний — як висхідний чи як низхідний ряд. Однак для нескінченного ряду вже є відмінність: висхідний ряд   має найменший елемент, безпосередньо наступний за ним елемент, потім наступний, і так далі, але може не мати максимального елемента, відмінного від  . Низхідний ряд   навпаки, має найбільший елемент, але може не мати найменшого елемента, відмінного від  .

Нетерівські та артінові групиРедагувати

Група, яка задовольняє умові обриву зростальних ланцюгів, називають нетерівською. Ця умова означає, що для такої групи не існує нескінченного ланцюжка підгруп, який зростає щодо відношення включення. Відповідно, групу, що задовольняє умові обриву спадних ланцюгів, називають артіновою; ця термінологія аналогічна виділенню артінових та нетерівських кілець.

Група може бути нетерівською і не бути артіновою, приклад — адитивна група цілих чисел. На відміну від кілець, група може бути артіновою і не бути нетерівською, приклад — група Прюфера.

Фактор-групи та підгрупи нетерівських груп є нетерівськими. Більш того, розширення нетерівської групи за допомогою нетерівської групи є нетерівською групою (це означає, що якщо дана група має нетерівську нормальну підгрупу, факторгрупа за якою нетерівська, то й сама ця група нетерівська). Для артінових груп правильні аналогічні твердження.

Умова нетерівськості групи еквівалентна також умові, що будь-яка підгрупа цієї групи є скінченнопородженою.

Нескінченні та трансфінітні рядиРедагувати

Нескінченні ряди підгруп визначають у природний спосіб: у цьому випадку потрібно зафіксувати деяку нескінченну лінійно впорядковану індексну множину. Висхідний ряд  , Для якого індексна множина — множина натуральних чисел, часто називають просто нескінченним висхідним рядом. Якщо підгрупи ряду занумеровано порядковими числами, то виходить трансфінітний ряд[1] наприклад, ряд

 

Якщо задано рекурсивну формулу елементів ряду, можна визначати трансфинитный ряд за допомогою трансфінітної рекурсії. При цьому на граничних порядкових числах елементи висхідного трансфінітного ряду задають формулою

 

а елементи низхідного трансфінітного ряду — формулою

 

Інші лінійно впорядковані множини рідко виникають як індексувальні множини в рядах підгруп. Наприклад, можна розглянути двосторонньо-нескінченний ряд підгруп, індексований цілими числами:

 

Порівняння рядівРедагувати

Ущільнення ряду підгруп — це інший ряд підгруп, що містить кожен елемент початкового ряду. Поняття ущільнення задає частковий порядок на множині рядів підгруп заданої групи, ряди підгруп утворюють ґратку відносно такого впорядкування, а субнормальні та нормальні ряди утворюють підґратки цієї ґратки. Особливий інтерес становлять у певному сенсі максимальні ряди без повторів.

Два субнормальні ряди називаються еквівалентними або ізоморфними, якщо є бієктивне відображення, що пов'язує множини їхніх фактор-груп, таке, що відповідні фактор-групи ізоморфні.

Максимальні рядиРедагувати

Композиційний ряд — це максимальний субнормальний ряд.

У класі скінченних субнормальних рядів максимальність означає, що кожна фактор-група   проста, тобто скінченний композиційний ряд — це скінченний субнормальний ряд із простими фактор-групами  .
У класі висхідних трансфінітних субнормальних рядів максимальність пов'язана з поняттям трансфінітної надпростоти[1][неавторитетне джерело] (hypertranssimplicity).

Групу   називають трансфінітно надпростою[джерело?], якщо вона не має висхідних субнормальних рядів без повторів (скінченних або трансфінітних), відмінних від тривіального ряду  .

Висхідний трансфінітний субнормальний ряд є композиційним рядом, якщо всі його фактор-групи   трансфінітно надпрості.

Відкриті проблемиРедагувати

  1. Будь-яка трансфінітна надпроста група є простою. Тобто клас трансфінітно надпростих груп складає підклас у класі простих груп. Залишається відкритим питання про збіг або розбіжність цих класів. Потрібно побудувати приклад простої групи, яка є трансфінітно надпростою, або довести, що таких груп немає.

ПриміткиРедагувати

  1. а б Sharipov, R.A. (2009). «Transfinite normal and composition series of groups». arXiv:0908.2257 [math.GR].