У теорії груп p-групою Прюфера (або квазіциклічною p-групою) для фіксованого простого числа p називається єдина p-група в якій для будь-якого елементу існує рівно p коренів p-го степеня. Зазвичай позначається як Z(p). Названа на честь німецького математика Гайнца Прюфера.

2-група Прюфера із заданням gn: gn+12 = gn, g12 = e, зображена як підкрупа одиничного кола на комплексній площині

Властивості ред.

  • p-групу Прюфера можна розглядати як підгрупа U(1), що складається з комплексних коренів з одиниці степенів pn для всіх натуральних чисел n:
 
  • Еквівалентно квазіциклічну p-групу можна розглядати як підгрупу Q/Z, що складається з елементів, порядок яких є степенем p:
 
  • Також p-група Прюфера може бути задана генеруючими елементами і співвідношеннями:
 
  • Квазіциклічна p-група є єдиною нескінченною p-групою, що є локально циклічною, тобто будь-яка скінченна підмножина її елементів породжує циклічну групу). Всі власні підгрупи квазіциклічної групи є циклічними.
  • Також можна записати
 
де Qp позначає адитивну групу p-адичних чисел, а Zp — підгрупу p-адичних цілих чисел.
 

Див. також ред.

Література ред.

  • Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Т. 2 (вид. 2nd). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. 
  • Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra. Springer. ISBN 978-0-387-71567-4. 
  • Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press.