Корінь з одиниці

Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена $x^{n}-1(n\geqslant 1)$. Іншими словами, це комплексне число $\ x$, для якого

Корені п'ятого степеня з одиниці (вершини пятикутника)

$\ x^{n}=1.$

Запис

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

$1=\cos \ 0+i\ \sin \ 0$

Тоді за формулою Муавра

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.\,$

одержимо:

$u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Тут $\ u_{k}$ — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

$u_{k}=e^{\frac {2\pi ki}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна $n$, і всі вони різні.

Властивості

Геометричні властивості

• Модуль кожного кореня рівний 1. На комплексній площині корені з одиниці утворюють вершини правильного многокутника, вписаного в одиничне коло. Однією з вершин завжди є одиниця.
• Якщо $\ u_{k}$ — корінь з одиниці, то спряжене до нього число ${\overline {u_{k}}}$ — теж корінь з одиниці.

Алгебраїчні властивості

• Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
• Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
• Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків $\mathbb {Z} _{n}$. Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент $u_{k}$, індекс $k$ якого взаємно простий $n$.
  • Наслідки:
  • елемент $u_{1}$ завжди є первісним;
  • якщо $n$ — просте число, то степені будь-якого кореня, окрім $\pm 1$, охоплюють всю групу;
  • число первісних коренів рівне $\varphi (n)$, де $\varphi$ — функція Ейлера.
• Якщо $n>1$, то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці $u$ має місце формула:

$\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0.$

Приклади

Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

$\left\{1;\ {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Корені 4-го степеня з одиниці:

$\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i\right\}$

Для коренів 5-го степеня є 4 первісні елементи:

$\left\{e^{2\pi ik \over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}.$

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

$\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$

Див. також

• Група Прюфера
• Ікосіани
• Кругове поле
• Многочлен поділу кола
• Сума Гаусса

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Milne, James S. (1998). Algebraic Number Theory. Course Notes. Архів оригіналу за 27 серпня 2010. Процитовано 12 серпня 2010.