Відкрити головне меню
Корені п'ятого степеня з одиниці (вершини пятикутника)

Корінь n-го степеня з одиницікомплексний корінь многочлена . Іншими словами, це комплексне число , для якого

ЗаписРедагувати

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

 

Тоді за формулою Муавра

 

одержимо:

 

Тут   — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

 

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна  , і всі вони різні.

ВластивостіРедагувати

Геометричні властивостіРедагувати

Алгебраїчні властивостіРедагувати

  • Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
  • Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
  • Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків  . Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент  , індекс   якого взаємно простий  .
    • Наслідки:
    • елемент   завжди є первісним;
    • якщо  просте число, то степені будь-якого кореня, окрім  , охоплюють всю групу;
    • число первісних коренів рівне  , де  функція Ейлера.
  • Якщо  , то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці   має місце формула:
 

ПрикладиРедагувати

 
Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

 

Корені 4-го степеня з одиниці:

 

Для коренів 5-го степеня є 4 первісні елементи:

 

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати