Подільна група

Подільна група — група $G$ , така що для будь-яких $n\in \mathbb {N}$ і $g\in G$ рівняння

x^{n}=g

має розв'язок. Часто група вважається абелевою, а умова записується в адитивній нотації як $nx=g$ .

Група $A$ називається $p$ -подільною ( $p$ — просте число), якщо для будь-якого $a\in A$ рівняння $px=a$ має розв'язок в $A$ .

Приклади

Група $(\mathbb {Q} ,+)$ всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи, зокрема $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$
Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними.
Стандартні групи $(\mathbb {Q} ^{n},+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {R} ^{n},+),(\mathbb {C} ^{n},+)$ є подільними.
$p$ -примарна квазіциклічна група $\mathbb {Z} _{p^{\infty }}$ , тобто група, породжена зліченним набором елементів $a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots$ , які задовольняють умову

pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots .

Еквівалентно цю групу можна описати як

\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .

Мультиплікативна група комплексних чисел $\mathbb {C} ^{*}.$
Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U(n). Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці. Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця, що є коренем відповідного рівняння. Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU(n) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним 1.
Мультиплікативна група кватерніонів $\mathbb {H} ^{\times }=\left(\mathbb {H} \backslash \{0\},\cdot \right)$ теж є некомутативною подільною групою. Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі:

\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,

Ізоморфізм здійснюється за допомогою:

\mathbf {1} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}~.

Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу.

Властивості подільних груп

Гомоморфні образи і факторгрупи подільної групи є подільними групами.

Якщо

\phi :G\to H

є гомоморфізмом груп то для елемента

\phi (a)\in H

елемент

\phi (b)

є розв'язком рівняння

x^{n}=\phi (a),

де b є розв'язком рівняння

x^{n}=a

(він існує, оскільки G є подільною).

Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп, тобто ін'єктивним $\mathbb {Z}$ - модулем. З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає, що G є подільною тоді і тільки тоді, якщо для довільних абелевих груп $U\subset H$ і гомоморфізму $\phi :U\to G$ існує гомоморфізм $\psi :H\to G,$ такий що $\psi |_{U}:\phi .$

Якщо G не є подільною то існують

n\in \mathbb {N} ,\ g\in G,

що рівняння

nx=g

не має розв'язку. Нехай тепер

n\mathbb {Z} =U\subset H=\mathbb {Z} .

Якщо задати гомоморфізм з U в G, для якого образом n є g, то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образом 1 має бути елемент, що є розв'язком рівняння

nx=g.

Оскільки такого елемента не існує, то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом.

Нехай тепер G є подільною. Розглянемо множину

\Phi

всіх підгруп у H, що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм

\phi :U\to G.

Ця множина непуста оскільки їй належить U. Будь-яка лінійно впорядкована підмножина e

\Phi

має верхню межу, що рівна об'єднанню підгруп. Тоді згідно леми Цорна у

\Phi

існує максимальний елемент H^' із гомоморфізмом

\psi ':H'\to G,

що продовжує

\phi

. Припустимо, що H^' є власною підгрупою у H і

h\in H\setminus H'.

Якщо

\langle h\rangle \cap H'=\{0\}

то

\psi '

можна продовжити на Якщо

H'+\langle h\rangle

взявши довільний образ для h. Якщо ж

\langle h\rangle \cap H'

містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел, то за образ h можна взяти розв'язок рівняння

x^{n}=\psi '(nh).

В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу, що суперечить максимальності. Отже H' = H і продовження існує на всю групу H. Тобто G є ін'єктивним об'єктом.

Зауваження. Умова комутативності в даному випадку є важливою. Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група.

Абелева група є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є $p$ -подільною при кожному простому $p$ .
Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою.
Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи.
Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи.

Група

\mathbb {Z}

є підгрупою подільної групи

\mathbb {Q} ,

а тому пряма сума

(\oplus \mathbb {Z} _{i})_{i\in I}

є підгрупою

(\oplus \mathbb {Q} _{i})_{i\in I},

що є подільною групою, як пряма сума подільних груп. Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої

(\oplus \mathbb {Z} _{i})_{i\in I},

то вона є підгрупою деякої факторгрупи

(\oplus \mathbb {Q} _{i})_{i\in I},

що є подільною, як факторгрупа подільної групи.

Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом. Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G. Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G.
Будь-яка абелева група $A$ розкладається в пряму суму $A=D\oplus R$ , де $D$ - подільна група (вона називається подільною частиною групи $A$ ), а $R$ - редукована група, тобто група, яка не містить ненульових подільних підгруп.
Якщо $A$ є кільцем і $T$ подільною групою, то $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(A,T)$ є ін'єктивним $A$ -модулем.

Будова подільних груп

Нехай G — подільна група. Тоді підгрупа кручення Tor(G) G є подільною. Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем, Tor(G) є прямим доданком G. Тому

G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).

Як факторгрупа подільної групи G/Tor(G) є подільною. Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q. Тож існує множина I, для якої

G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.

Структура підгрупи кручення є складнішою^[1]^[2]. Для всіх простих чисел p існує множина $I_{p}$ , для якої

(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},

де $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$ є p-примарна компонента Tor(G).

Якщо множину простих чисел позначити P, то:

G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.

Потужності множин I і I_p для p∈P є однозначно визначеними G.

Див. також

Джерела

Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1. Academic Press.
Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press.
Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390

[FOOTNOTEKaplansky1965-1] Kaplansky, 1965.

[FOOTNOTEFuchs1970-2] Fuchs, 1970.

[1]

[2]