Примарна абелева група

$p$-примарна (або $p$-праймерна) абелева група (де $p$ — фіксоване просте число) — абелева група $(A,+)$, така, що порядок будь-якого елемента з $A$ є степенем $p$.

Приклади

• $(\mathbb {Z} _{p^{n}},+)$ — адитивна група класів залишків за модулю $p^{n}$ ;
• $(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ — адитивна група кільця многочленів над полем $\mathbb {Z} _{p}$.

Властивості

• Будь-яка періодична абелева група (тобто група без елементів нескінченного порядку) розкладається на пряму суму $p$-примарних підгруп.

Примарна абелева група $(A,+)$ називається елементарною, якщо всі її ненульові елементи мають порядок рівний $p$.

• Абелева група $A$ є $p$-примарною елементарною тоді й лише тоді, коли вона розкладається в пряму суму груп вигляду $\mathbb {Z} _{p}$.

$p$-висотою елемента $a\in A$ називають найменше натуральне число $n$, таке що $a\in nA$. Якщо такого натурального $n$ не існує, то елемент $a$ має нескінченну $p$-висоту.

• Критерій Кулікова: $p$-примарна абелева група $A$ є прямою сумою циклічних груп тоді й лише тоді, коли $A$ є об'єднанням зростаючого ланцюжка підгруп

$A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A$ ,

де $p$-висоти ненульових елементів підгруп $A_{i}$ менші від фіксованого елемента $k_{n}$.

Критерій Кулікова узагальнює теореми Прюфера:

• Перша теорема Прюфера: Обмежена $p$-примарна (періодична) абелева група є прямою сумою циклічних підгруп.
• Друга теорема Прюфера: Зліченна $p$-примарна абелева група розкладається в пряму суму циклічних підгруп тоді й лише тоді, коли вона не містить ненульових елементів нескінченної $p$-висоти.

Література

• Л. Фукс. Бесконечные абелевы группы. — М. : Мир, 1974, 1977. — Т. 1, 2.
• Л. Я. Куликов. К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник. — 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
• H. Prüfer. Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift. — 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.