Топологі́чна гру́пагрупа, яка одночасно є топологічним простором, при цьому множення елементів групи і обертання елемента є неперервними.

Означення

ред.

Нехай на множині G задані структури групи і топологічного простору, так, що множення

 

і операція взяття оберненого елементу

 

неперервні функції. Тут G × G розглядається як добуток топологічних просторів. Тоді G називається топологічною групою.

Еквівалентно достатньо вимагати неперервність відображення:

 

Лише однієї вимоги неперервності множення є недостатньо. Наприклад якщо на множині цілих чисел   ввести топологію у якій відкритими множинами є   і інтервали виду   то стандартна операція додавання буде неперервною у цій топології, а взяття оберненого елемента (зміна знаку) — ні.

Хоча формально такої вимоги нема але багато авторів вимагають додатково, щоб простір G був гаусдорфовим.

Гомоморфізмом топологічних груп називається гомоморфізм груп GH, що є також неперервним відображенням між топологічними просторами. Топологічні групи із їх гомоморфізмами утворюють категорію.

Аналогічно ізоморфізмом топологічних груп називають ізоморфізм груп, що є гомеоморфізмом між топологічними просторами.

Приклади

ред.

Властивості

ред.
  • Операція множення на групі задає відображення   і   Оскільки вони є композиціями тотожного відображення, константи   і множення у групі, то обидва ці відображення є неперервними. Оскільки   і  є неперервними і оберененими до   і   то всі   і   є гомеоморфізмами.
  • З попереднього випливає, що якщо для деяких підмножин   позначити   то для відкритої (замкнутої) підмножини   усі підмножини   і   теж будуть відкритими (замкнутими). Також якщо хоча б одна із підмножин   буде відкритою, то   і   будуть відкритими підмножинами. Якщо ж одна із цих підмножин буде замкнутою, а інша — скінченною, то   і   будуть замкнутими підмножинами.
  • У комутативній топологічній групі компактної підмножини   і замкнутої множини   також   буде замкнутою множиною.
  • Якщо 𝒩 є базою околів одиничного елемента G то для кожного gG,
    x𝒩 := { xN : N ∈ 𝒩} є базою околів точки g. Тому топологія у групі однозначно визначається базою околів одиничного елемента (чи будь-якого елемента групи). Більш детально, якщо сім'я   підмножин групи G, що містять одиничний елемент задовільняє умови:
    1. Для кожних   існує   для якої  
    2. Для кожної   існує   для якої  
    3. Для кожної   і gU існує   для якої  
    4. Для кожної   і gG існує   для якої  
то існує єдина топологія на групі для якої   є базою відкритих околів одиничного елемента.
  • Базу околів завжди можна вибрати так щоб її елементами були тільки симетричні множини, тобто множини для яких  
  • Топологічні групи є регулярними просторами. Для топологічної групи з одиничним елементом 1, твердження нижче є еквівалентними:
    1. G є T0-простором;
    2. G є гаусдорфовим простором;
    3. G є цілком регулярним простором;
    4. Множина { 1} є замкнутою у G;
    5. Для gG і g ≠ 1 існує окіл U одиничного елемента у G для якого gU.
  • Теорема Біркгофа — Какутані. Топологічна група є метризовною тоді і тільки тоді коли вона є гаусдорфовою і задовольняє першу аксіому зліченності. Із попередніх властивостей твердження можна перефразувати, що група є метризовною коли одиничний елемент є замкнутою підмножиною і для нього існує зліченна база околів. Для метризовних груп завжди існують лівоінваріантні і правоінваріантні метрики тобто метрики   такі, що для всіх   виконуються рівності   і  

Підгрупи і факторгрупи

ред.
  • Підгрупа H топологічної групи G є топологічною групою для індукованої топології. Факторпростір G/H суміжних класів забезпечується фактортопологією щодо канонічного відображення групи G на G/H. Відображення q : GG/H завжди є відкритим.
  • Якщо H є нормальною підгрупою топологічної групи G, то факторгрупа G/H є топологічною групою щодо фактортопології.
  • Компонента зв'язності одиничного елемента групи G0 завжди є замкнутою нормальною підгрупою. Факторгрупа G/G0 є цілком незв'язаною.
  • Для будь якого елемента gG компонента зв'язності, що містить цей елемент має вигляд gG0 або еквівалентно G0g, тобто компонентами зв'язності є ліві і праві класи суміжності по підгрупі G0.
  • Кожна відкрита підгрупа H є також замкнутою у G, оскільки доповнення H є об'єднанням відкритих множин gH для gG \ H. Якщо H є підгрупою G то і замикання H є підгрупою. Зокрема якщо H є нормальною підгрупою, то і замикання H є нормальною підгрупою у G.
  • Факторпростір G/H є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли підгрупа H є замкнутою у (не обов'язково гаусдорфовій) групі G. Якщо підгрупа H і факторпростір G/H є гаусдорфовими, то і група G є гаусдорфовою. Факторпростір G/H завжди є регулярним.
  • Як і кожна абстрактна група топологічна група G задовольняє групові теореми про ізоморфізми. У випадку першої теореми про ізоморфізм якщо гомоморфізм топологічних груп   є не лише неперервним, а й відкритим (або замкнутим) відображенням, то ізоморфізм груп   і образу гомоморфізма   є також гомеоморфізмом, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Додаткові вимоги для гомоморфізму є необхідними. Якщо, наприклад, розглянути тор   і неперервний гомоморфізм   заданий як   для ірраціонального числа  , то   є ін'єктивним відображенням і його образ є ізоморфний як група адитивній групі дійсних чисел. Проте із індукованою топологією він не є гомеоморфний множині дійсних чисел із стандартною топологією, оскільки будь-який окіл довільної точки містить як завгодно великі дійсні числа.
Для третьої теореми про ізоморфізм якщо  ,   — нормальні підгрупи в  , такі що  , тоді існує ізоморфізм груп   і   і він також завжди є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп.
Для другої теореми про ізоморфізм для   — підгрупи в   і   — нормальної підгрупи в   ізоморфізм факторгруп   і   може не бути гомеоморфізмом. Наприклад нехай   і   де   є деяким ірраціональним числом і груповою операцією в усіх групах є звичайне додавання. Тоді   і тому   тобто є дискретним простором ізоморфним адитивній групі цілих чисел. Натомість   є щільною підмножиною дійсних чисел, а тому   є щільною підмножиною кола   Відповідно   не є дискретним простором оскільки кожна його відкрита підмножина містить нескінченну кількість елементів. Відповідно простори   і   не є гомеоморфними.

Рівномірні структури

ред.

Топологічна група   є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина   є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину   для деякого околу   одиничного елемента групи  . Ця рівномірна структура на   називається правою рівномірною структурою на  , оскільки для кожного елемента  , праве множення   є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структури.

Також можна ввести ліву рівномірну структуру на  , вони можуть бути різними але породжують однакову топологію на  .

Існування рівномірної структури на топологічній групі дозволяє ввести і використовувати поняття рівномірної неперервності, послідовності Коші, повноти і поповнення.

Гомотопні властивості

ред.

Якщо   є петлями в одиничному елементі (тобто  ) то для фундаментальної групи   множення визначається множенням у самій групі   тобто   де   є петлею одержаною звичайним множенням у групі, тобто   Аналогічно у фундаментальній групі  

Фундаментальна група топологічної групи є комутативною.

Оскільки будь-яка петля   у елементі   є неперервним образом петлі   при відображенні   і дві петлі   у елементі   є гомотопними тоді і тільки тоді коли гомотопними є відповідні петлі   і   то всі фундаментальні групи   є ізоморфними   і групу   як правило просто позначають  

П'ята проблема Гільберта

ред.

Визначальну роль в побудові теорії топологічних групі відіграла п'ята проблема Гільберта. Сформульована в 1900 як проблема про локальні групи перетворень, ця проблема була переосмислена в процесі розвитку теорії топологічних груп.

У сучасних термінах проблему можна сформулювати як: чи є будь-яка топологічна група, що є також топологічним многовидом групою Лі?

П'ята проблема Гільберта була вирішена у 1952. Важливим елементом стало доведення критерію, що локально компактна група   є групою Лі тоді і тільки тоді, коли у   існує окіл одиниці, який не містить нетривіальних підгруп.

Було показано також, що локально компактна група   з компактною факторгрупою G/G0 є проективною границею груп Лі.

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
  • Higgins, Philip J. (1974), An Introduction to Topological Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 15, Cambridge University Press, ISBN 0-521-20527-1
  • Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR 0073104