P-адичне число
P-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.
Елементарне означенняРедагувати
Нехай p — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:
де числа ai належать до множини {0, …, p − 1}. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:
де n — деяке ціле число.
P-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:
де k — деяке ціле число.
Наприклад, взявши p=5, ми матимемо:
Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою 5. Числа для яких ai=0 для i<0 називаються p-адичними цілими числами.
Аналітична побудоваРедагувати
p-адична нормаРедагувати
Нехай маємо деяке — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого p:
Далі для визначимо:
Еквівалентно, якщо де a, b не діляться на p то Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо p-адичну норму для таким чином:
Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:
- тоді й лише тоді, коли x=0
- Справді 0 єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.
- Справді, нехай а де жодне з чисел a, b, c, d не ділиться на p. Тоді і ac, bd не діляться на p.
- За означеннями маємо:
- що й доводить наше твердження.
- Нехай знову а де жодне з чисел a, b, c, d не ділиться на p. Нехай також Тоді
- Тож очевидно ординал x+y не може бути меншим n. Окрім того у випадку коли n строго менше m ординал є рівним n адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на p.
Таким чином | |p є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел.
Наприклад для числа x = 63/550 = 2−1 32 5−2 7 11−1
- для інших простих чисел.
Фундаментальні послідовності і нуль-послідовностіРедагувати
Послідовність (ai) називається збіжною до за нормою якщо
Якщо a=0 то така послідовність називається нуль-послідовністю.
Послідовність (ai) називається фундаментальною, якщо:
- таке що
Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.
Побудова чиселРедагувати
Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності an і bn є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності (ai) через {ai}. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:
- {an}+{bn}={an + bn},{an}{bn}={anbn}
Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну p-адичну норму:
Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем p-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких називаються p-адичними цілими числами.
ВластивостіРедагувати
- Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:
Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:
- Сума p-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли (ai) є нуль-послідовністю.
- Топологічний простір p-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір p-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.
ЛітератураРедагувати
- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
- Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
- Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.