Відкрити головне меню

P-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Зміст

Елементарне означенняРедагувати

Нехай p — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

 

де числа ai належать до множини {0, …, p − 1}. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

 

де n — деяке ціле число.

P-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

 

де k — деяке ціле число.

Наприклад, взявши p=5, ми матимемо:

 
 

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою 5. Числа для яких ai=0 для i<0 називаються p-адичними цілими числами.

Аналітична побудоваРедагувати

p-адична нормаРедагувати

Нехай маємо деяке    — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого p:

 

Далі для   визначимо:

 

Еквівалентно, якщо   де a, b не діляться на p то   Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо p-адичну норму для   таким чином:

 

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

  •   тоді й лише тоді, коли x=0
Справді 0 єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.
  •  
Справді, нехай   а   де жодне з чисел a, b, c, d не ділиться на p. Тоді   і ac, bd не діляться на p.
За означеннями маємо:    
  що й доводить наше твердження.
  •  
Нехай знову   а   де жодне з чисел a, b, c, d не ділиться на p. Нехай також   Тоді  
Тож очевидно ординал x+y не може бути меншим n. Окрім того у випадку коли n строго менше m ординал є рівним n адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на p.

Таким чином | |p є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа x = 63/550 = 2−1 32 5−2 7 11−1

 
 
 
 
 
  для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовностіРедагувати

Послідовність (ai) називається збіжною до   за нормою   якщо

 

Якщо a=0 то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність (ai) називається фундаментальною, якщо:

  таке що  

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чиселРедагувати

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності an і bn є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності (ai) через {ai}. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

{an}+{bn}={an + bn},{an}{bn}={anbn}

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну p-адичну норму:

 

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем p-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких   називаються p-адичними цілими числами.

ВластивостіРедагувати

  • Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:
 

Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

 
  • Сума   p-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли (ai) є нуль-послідовністю.
  • Топологічний простір p-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір p-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

ЛітератураРедагувати

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.