Метризовний простір

Метризовний простіртопологічний простір, що є гомеоморфним деякому метричному простору. Інакше кажучи, простір, топологія якого породжується деякою метрикою.

Якщо така метрика існує, то вона не є єдиною за винятком тривіальних випадків: коли простір є порожнім або складається лише з однієї точки. Наприклад, топологія кожного метризовного простору породжується деякою обмеженою метрикою.

Необхідні умови метризовностіРедагувати

Достатня умова метризовностіРедагувати

Теорема Урисона. Усі гаусдорфові нормальні простори (і, більш загально, гаусдорфові регулярні простори) зі зліченною базою є метризовними.

Еквівалентні умови метризовностіРедагувати

Необхідні умови метризовностіРедагувати

Достатня умова метризовностіРедагувати

Теорема Урисона. Усі гаусдорфові нормальні простори (і, більш загально, гаусдорфові регулярні простори) зі зліченною базою є метризовними.

Еквівалентні умови метризовностіРедагувати

  • Простір є метризовним в тому і тільки в тому випадку, коли він є колективно нормальним і має зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються;
  • Критерій Стоуна — Архангельського: простір є метризовним у тому і тільки в тому випадку, коли він має зліченну фундаментальну множину відкритих покриттів і задовольняє  -аксіому віддільності. Множина відкритих покриттів простору   називається фундаментальною, якщо для кожної точки   і кожного її околу   існує покриття   і окіл   точки   такі, що кожен елемент покриття  , що перетинається з  , міститься в  .

На іншій важливій ​​концепції — локальній скінченності, засновані інші загальні критерії.

  • Критерій Нагати — Смирнова: простір   є метризовним в тому і тільки в тому випадку, якщо він є регулярним і має базу, що розпадається на зліченну множину локально скінченних сімей множин.
  • Критерій Бінга є аналогічним але в ньому замість локально скінченних сімей розглядають дискретні сім'ї множин.

Зручні варіанти наведених вище основних критеріїв метризовності пов'язані з поняттями рівномірної бази і регулярної бази. База   простору   називається регулярною (рівномірною), якщо для будь-якої точки   і будь-якого її околу   існує окіл   цієї точки такий, що кількість елементів бази  , які перетинають одночасно   і доповнення до  , є скінченною (відповідно, якщо множина елементів   таких що  ,   є скінченною).

  • Простір   є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є колективно нормальним і має рівномірну базу.
  • Для метризовності  -простору необхідно і достатньо, щоб він мав регулярну базу.
  • По теоремі Ковальського, зліченний степінь їжака колючості   (при  ) є універсальним простором для всіх метризовних просторів ваги  . Таким чином, простір є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є гомеоморфним підпростору зліченного степеня їжака деякої колючості  . [1]

Окремі випадкиРедагувати

Для деяких спеціальних класів просторів критерії метризовності є простішими.

Так, для метризовності компактного простору   необхідно і достатньо виконання одної із умов:

Для метризовності простору топологічної групи необхідно і достатньо, щоб в останньому виконувалася перша аксіома зліченності і аксіома віддільності  ; також тоді простір є метризовним інваріантною метрикою (наприклад, по відношенню до множення зліва).

Повні і неповні метрикиРедагувати

Не всі метризовні простори можна метризувати повною метрикою; прикладом метризовного простору на якому це неможливо є простір раціональних чисел.

Простір є метризовним повною метрикою в тому і тільки в тому випадку, якщо він є метризовним і повно за Чехом, тобто є множиною типу Gδ в деякому компакті, що його містить.

Важливою топологічною властивістю просторів, що метризуються повною метрикою, є властивість Бера: перетин будь-якої зліченної сім'ї усюди щільних відкритих множин є всюди щільною множиною.

Варіації і узагальненняРедагувати

До метризовних просторів найбільш близькі за властивостями Морівські простори — цілком регулярні простори, що мають зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються і мереживні простори.

Широкий спектр узагальнень поняття метризовності простору одержується послабленням аксіом метрики і розглядом породжених такими «метриками» топологій. Таким прикладом є симетризовні простори, які одержуються відмовою від аксіоми нерівності трикутника. У цю схему вкладаються і Морівськ простору.

Інші важливі узагальнення поняття метризовності пов'язані з розглядом «метрик» зі значеннями в напівполі та інших алгебричних структурах.

ПриміткиРедагувати

  1. Swardson, M. A. (1 июня 1979). A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem. американское математическое общество. 

ЛітератураРедагувати

  • Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Москва : Наукa, 1973.