Простір T0

Простір $T_{0}$ — топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності $T_{0}$. Ці простори також називаються просторами Колмогорова.

Визначення

Топологічний простір $X$ називається простором $T_{0}$, якщо для будь-яких двох різних точок $x,y\in X$ існує відкрита множина $U\subseteq X$, така що одна з цих двох точок належить цій підмножині, а інша - ні. На відміну від простору $T_{1}$, якщо $x\in U$, але $y\notin U$, то кожен відкритий окіл точки y може мати x своїм елементом.

Еквівалентно можна визначити, що $X$ є простором $T_{0}$, коли будь-які його дві точки не є граничними точками одна одної.

Приклади і властивості

• Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами $T_{0}$ і простори, що не є $T_{0}$ вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів $T_{1}$ є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором $T_{0}$.
• Кожен простір $T_{1}$ зокрема гаусдорфів простір є простором $T_{0}$.
• Будь-який простір з антидискретною топологією не є простором $T_{0}$. Також якщо на дійсному векторному просторі топологія породжена напівнормою, що не є нормою, то такий топологічний простір не є простором $T_{0}$.
• Прикладом простору, що задовольняє аксіому $T_{0}$, але не є простором $T_{1}$ є множина $X=\{a,b\}$ з топологією $\tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}$. Іншими такими прикладами є топологія перекривних інтервалів, топологія замкненого розширення і простір Серпінського. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором $T_{0}$ але в загальному випадку не є простором $T_{1}$.
• Підмножина простору $T_{0}$ з індукованою топологією є простором $T_{0}$.
• Декартовий добуток просторів $T_{0}$ теж є простором $T_{0}$.
• На множині точок довільного топологічного простору ввести відношення еквівалентності: $\,x\sim y$ тоді й тільки тоді коли довільна відкрита множина, що містить x містить також y і навпаки. Фактор-простір по цьому відношенню буде простором $T_{0}$.

Див. також

• Аксіоми відокремлюваності
• Простір T1
• Гаусдорфів простір

Література

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)