Топологія замкненого розширення

Нехай (Х,τ) — довільний топологічний простір, $p\notin X$, $X^{*}=X\cup \{p\}$, $\tau ^{*}=\{\varnothing ,U\cup \{p\}\mid U\in \tau \}$. Топологічний простір (X*,τ*) називається замкненим розширенням простору (Х,τ).

Властивості

• Довільна відмінна від X* замкнена в X* множина замкнена в Х. Саме тому таке розширення називається замкненим.
• X* є $T_{0}$-простором тоді і тільки тоді, коли Х є $T_{0}$-простором.
• X* не є $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$-простором.
• X* є $T_{4}$-простором чи $T_{5}$-простором в тому й лише в тому разі, коли Х є $T_{4}$ або $T_{5}$-простором відповідно.

Див. також

• Топологія відкритого розширення

Література

1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446