Локально компактний простір

В топології локально компактний простіртопологічний простір, що в деякому околі кожної своєї точки «подібний» до деякого компактного простору. Найчастіше в означенні локально компактного простору вимагається щоб довільна його точка мала компактний окіл.

Деякі автори при означенні вимагають сильніші властивості: існування замкнутого компактного околу чи бази околів з компактних множин. У випадку гаусдорфового простору всі ці вимоги є еквівалентними.

ПрикладиРедагувати

Приклади локально компактних просторів:

Простори, що не є локально компактними:

  • Простір   як топологічний підпростір площини.

ВластивостіРедагувати

  • У локально компактному гаусдорфовому просторі   для будь-якої компактної підмножини   її компактні околи утворюють базу околів множини  . Зокрема для кожної точки її компактні околи (які існують за означенням локальної компактності) утворюють базу околів точки.
Якщо простір   є компактним і   є деяким відкритим околом множини  , то доповнення   є компактною множиною, як замкнута підмножина компактного простору. Оскільки   і   є компактними підмножинами гаусдорфового простору, що не перетинаються, то існують також відкриті околи   і   із порожнім перетином. Оскільки   є підмножиною замкнутої множини   то і її замикання   Але також   тож і   і також   є компактною, як замкнута підмножина компактного простору. Тобто кожен відкритий окіл   містить компактний окіл цієї множини, що й доводить те, що компактні околи утворюють базис околів множини  .
У загальному випадку для локально компактних просторів для кожної точки   існує компактний окіл  , що містить відкритий окіл   цієї точки. Відкриті околи   утворюють покриття компактної множини   і тому існує скінченне підпокриття   Тоді для відповідних компактних околів об'єднання   є компактним околом  . Тоді для будь-якого відкритого околу   множини   множина   є відкритим околом   у компактному просторі   Тому із попереднього випливає існування компактної (у   а тому й у  ) множини   для якої   тобто довільний відкритий окіл компактної множини знову ж містить компактний окіл.
  • Локально компактний гаусдорфів простір є цілком регулярним. Більше того для кожної компактної підмножини   локально компактного простору   і її відкритого околу   існує неперервна функція   така, що   і також   а носій функції є компактною підмножиною  , зокрема   Цілковита регулярність є частковим випадком цього твердження у випадку якщо   є одноточковою підмножиною.
  • Замкнутий підпростір   локально компактного простору   є теж локально компактним.
За означенням для кожної точки   існує компактний окіл   у просторі  . Але тоді   є замкнутою підмножиною компактного простору   і тому теж є компактною підмножиною простору  , а тому простору   і простору  . Тобто кожна точка   має компактний окіл у   і цей підпростір теж є локально компактним.
  • Для довільного гаусдорфового простору   локально компактний підпростір є локально замкнутим (тобто замкнутою підмножиною деякої відкритої підмножини X; еквівалентно якщо він є рівний перетину деякої відкритої і замкнутої множин або різницею замкнутих підмножин). Навпаки для локально компактного гаусдорфового простору довільний локально замкнутий підпростір є локально компактним.
Якщо   є локально компактним підпростором гаусдорфового простору   то для кожної точки   існує компактна підмножина   і відкрита підмножина   для яких   (це і означає в даному випадку, що   є компактним околом у просторі  ). Об'єднання множин   є відкритим околом   і достатньо довести, що   є замкнутою підмножиною   Нехай   Тоді   для деякого   і y і   є двома компактними підмножинами   із порожнім перетином. Оскільки простір є гаусдорфовим звідси випливає існування відкритих околів   і   із порожнім перетином. Очевидно можна вибрати також   і у цьому випадку   Отже для кожної точки   існує відкритий окіл (у  ) цієї точки, що не перетинається з  . Тобто   є замкнутою підмножиною відкритої множини  
Навпаки, якщо   є локально компактним гаусдорфовим простором,   є замкнутою підмножиною деякої відкритої множини   і   то із попереднього існує компактний окіл  . Множина   є замкнутою у   як компактна підмножина гаусдорфового простору  . Відповідно   є замкнутою підмножиною у   і тому компактною. Відповідно   є компактним околом x у E.
  • З попереднього випливає, що щільна підмножина локально компактного гаусдорфового простору є локально компактною тоді і тільки тоді, коли вона є відкритою.
  • Одноточкова компактифікація топологічного простору   є гаусдорфовою тоді і тільки тоді, коли   є локально компактним гаусдорфовим простором.
  • Добуток топологічних просторів є локально компактним тоді і тільки тоді, коли всі ці простори є локально компактними і всі вони, можливо за винятком скінченної кількості є компактні.
  • Факторпростір локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим. Навпаки, будь-який компактно породжений гаусдорфів простір є факторпростором деякого локально компактного гаусдорфового простору.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати