Цілком незв'язний простір

У топології цілком незв'язним простором називається топологічний простір, який не має нетривіальних зв'язаних підмножин. У будь-якому топологічному просторі порожня множина і одноточкові множини є зв'язаними. У цілком незв'язаному просторі вони є єдиними зв'язаними підмножинами.

Важливим прикладом цілком незв'язаного простору є множина Кантора. Іншим прикладом, що відіграє ключову роль в алгебричній теорії чисел, є поле p-адичних чисел $\mathbb {Q} _{p}$.

Означення

Топологічний простір X називається цілком незв'язним, якщо усі його компоненти зв'язності X є одноточковими множинами.

Подібними є так звані цілком відокремлювані простори для яких всі квазікомпоненти є одноточковими множинами. Іншими словами для будь-яких двох точок простору існує відкрито-замкнута множина, що містить лише одну із двох точок (доповнення цієї множини буде відкрито-замкнутою множиною, що містить лише іншу точку).

Приклади

• Дискретний простір
• Множина раціональних чисел
• Множина ірраціональних чисел
• Множина p-адичних чисел.
  • Більш загально, цілком незв'язними є усі проскінченні групи
• Множина Кантора
• Простір Бера
• Стрілка Зоргенфрея
• Кожен цілком відокремлюваний простір є цілком незв'язним. Натомість нехай $\mathbb {Q} _{0}=(\mathbb {Q} \sqcup \mathbb {Q} )/{\sim }$ , де еквівалентність полягає у ідентифікації однакових елементів двою копій раціональних чисел за винятком нуля. Цей простір є цілком незв'язним але розглянувши дві копії нуля можна показати, що він не є навіть гаусдорфовим і тим більше не є цілком відокремлюваним.
• нульвимірний гаусдорфів простір
• Нульвимірні T₁-простори
• Екстремально незв'язний гаусдорфів простір
• Простір Стоуна
• Віяло Кнастера — Куратовского є прикладом зв'язного простору, який при видаленні лише однієї точки стає цілком незв'язним
• Простір Ердоша ℓ²$\,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }$ є прикладом одновимірного цілком незв'язного простору.

Властивості

• Підпростори, добутки і кодобуток цілком незв'язних просторів є цілком незв'язними.
• Цілком незв'язні простори є T₁-просторами у випадку, якщо усі точки є замкнутими.
• При неперервному відображенні образ цілком незв'язного простору може не бути цілком незв'язним. Наприклад будь-який компактний метричний простір є образом множини Кантора.
• Локально компактний гаусдорфів простір є нульвимірним тоді і тільки тоді, коли він є цілком незв'язним.
• Будь-який цілком незв'язний компактний метричний простір є гомеоморфним підмножині зліченного добутку дискретних просторів.
• У загальному не вірно, що будь-яка відкрита підмножина цілком незв'язного простору є також замкнутою. Це не так, наприклад, у просторі раціональних чисел із топологією породженою стандартною метрикою. Тоді будь-яка множина $(a,b)$ де $a,b\in \mathbb {Q}$ і a < b є відкритою але не замкнутою.
• У загальному не вірно, що у цілком незв'язному просторі замикання відкритої множини є відкритою множиною, тобто не кожен цілком незв'язний гаусдорфів простір є екстремально незв'язним. Контрприкладом може бути стрілка Зоргенфрея.

Конструювання незв'язного простору

Нехай $X$ — довільний топологічний простір. Нехай $x\sim y$ тоді і тільки тоді, коли $y\in \mathrm {conn} (x)$ (де $\mathrm {conn} (x)$ позначає максимальну зв'язану підмножину, що містить $x$). Очевидно, відношення $\sim$ є відношенням еквівалентності, отже можна побудувати відповідний факторпростір $X/{\sim }.$ Топологія на $X/{\sim }$ природним чином визначається топологією на $X,$ а саме, відкритими підмножинами $X/{\sim }$ є ті множини класів еквівалентності, прообраз яких при відображенні факторизації є відкритим в $X.$

Простір $X/{\sim }$ є цілком незв'язним. Справді, позначимо $q:X\to X/{\sim }$ — відображення факторизації і припустимо, що $X/{\sim }$ не є цілком незв'язним. Тобто існує компонента зв'язності $M\subset X/\sim ,$ що містить дві різні точки $[x]$ і $[y]$. Як компонента зв'язності $M$ є замкнутою множиною, як і множина $q^{-1}(M),$ що містить компоненти $[x]$ і $[y]$. Оскільки $[x]$ і $[y]$ є різними компонентами зв'язності, то $q^{-1}(M)$ не є зв'язаною множиною і тому існують дві відкриті непусті підмножини $U,V\subset q^{-1}(M)$ із пустим перетином для яких $U\cup V=q^{-1}(M).$

Також $q^{-1}(q(U))=U$, оскільки якщо $u\in q^{-1}(q(U))$ тоді $q(u)=q(u')$ для деякого $u'\in U$. Тобто $u$ і $u'$ належать одній компоненті зв'язності $C=q^{-1}(\{u\})\subseteq q^{-1}(M)$. Оскільки $C=(C\cap U)\cup (C\cap V)$ і $C\cap U\neq \emptyset$, то $C\cap V=\emptyset$ і $C\subseteq U$.

Відповідно $M=q(U)\cup q(V)$ де $q(U)$, $q(V)$ є непустими відкритими множинами із пустим перетином. Тобто $M$ не може бути зв'язаною множиною.

Також виконується універсальна властивість: якщо $f:X\rightarrow Y$ є неперервним відображенням у цілком незв'язний простір, то воно єдиним чином задається у вигляді $f={\breve {f}}\circ q,$ де відображення ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ є неперервним, а $q$ — відображення факторизації.

Література

• Willard, Stephen (2004), General topology, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350