Топологічний векторний простір

ОзначенняРедагувати

Топологічний векторний простір над топологічним полем  векторний простір   над  , наділений топологією, що узгоджується зі структурою векторного простору, тобто задовольняє наступним аксіомам:

  1. відображення   є неперервним;
  2. відображення   є неперервним

В цих означеннях добутки   і   наділені добутками відповідних топологій).

Цілком аналогічно можна визначити топологічний лівий і правий векторний простори над (не обов'язково комутативним) топологічним тілом. Для позначення топологічного векторного простору   з топологією   іноді використовується символ  .

Топологічні векторні простори   і   над одним і тим же топологічним полем   називаються ізоморфними, якщо існує неперервне лінійне взаємно однозначне відображення   на  , обернене до якого також є неперервним. Розмірністю топологічного векторного простору   називається розмірність векторного простору  .

ВластивостіРедагувати

  • Нехай   — топологічний векторний простір над топологічним полем  . Топологія   є інваріантною щодо зсувів (тобто відображення   є гомеоморфізмом на себе для кожного  ). Як наслідок топологія   однозначно визначається базою околів довільної фіксованої точки (зокрема, нуля).
  • Для того щоб простір   був гаусдорфовим, необхідно і достатньо, щоб для будь-якої точки   існував окіл нуля, що не містить  .
  • Якщо простір   є гаусдорфовим, то він є цілком регулярним.
  • В просторі   існує єдина рівномірна структура, що є інваріантною щодо зсувів (тобто для неї всі зсуви є рівномірно неперервними відображеннями) і асоційована з нею топологія збігається з вихідною топологією простору. Множина в топологічному векторному просторі називається повною, якщо вона є повною щодо цієї рівномірної структури.
  • Топологічний векторний простір   є повним, якщо кожен фільтр Коші в   є збіжним.
  • Для будь-якого топологічного векторного простору   існує повний топологічний векторний простір над тим же полем, що містить   як усюди щільну підмножину і індукує на   вихідні лінійну структуру і топологію. Цей простір називається поповненням простору  .
  • Будь-який гаусдорфів топологічний векторний простір   має гаусдорфове поповнення, що є єдиним з точністю до ізоморфізму, що залишає нерухомими елементи простору  .
  • Нехай тепер  недискретне нормоване поле, наділене топологією, яка визначається нормою. Якщо   — векторний простір над  , то множина   називається збалансованою (або врівноваженою), якщо   для всіх  . Якщо   і   — дві підмножини в  , то кажуть, що   поглинає  , якщо існує таке додатне число  , що   при  . Підмножина простору   називається поглинаючою (або радіальною), якщо вона поглинає кожну одноточкову множину. У всякому топологічному векторному просторі над   існує база   замкнутих околів нуля з наступними властивостями:
  1. для будь-якої множини   існує   таке, що  ;
  2. кожна підмножина   є збалансованою і поглинаючою;
  3. якщо  , то і   для всякого  
  • З іншого боку, нехай   — топологія в векторному просторі   над  , що є інваріантною щодо зсувів і має базу околів нуля, що задовольняє властивості властивості (1) і (2) вище, а також властивість: За) існує таке  , що, якщо  , то і  . Тоді   з топологією   є топологічним векторним простором над   (в тому випадку, коли норма в полі   є архімедовою, (За) є наслідком інших вимог, накладених на  ). Всякий базис фільтра   у векторному просторі   над  , що задовольняє властивостями (1), (2), (За) є фундаментальною системою околів нуля (не обов'язково замкнутих) деякої однозначно визначеної топології   в  , що узгоджується зі структурою векторного простору в  . У топологічному векторному просторі над полем дійсних чисел   або над полем комплексних чисел   його топологія називається локально опуклою, якщо   має базу околів нуля, що складається з опуклих множин (іноді в визначення локально опуклого простору включається ще вимога його гаусдорфовості).

ЛітератураРедагувати

  • Grothendieck, A. (1973). Topological vector spaces. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 0-677-30020-4. 
  • Kothe, G. (1983) [1969]. Topological vector spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-64990-5. 
  • Kothe, G. (1979). Topological vector spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 237. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4684-9411-2. 
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, M. P. (1999) [1966]. Topological vector spaces. GTM 3 (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98726-2. 
  • Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9. 
  • Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 
  • Rudin, Walter (1991) [1973]. Functional Analysis (вид. 2nd). McGraw–Hill. ISBN 0-07-054236-8. MR 1157815. 
  • Treves, F. (1967). Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press. ISBN 0-486-45352-9.