Відкрити головне меню
Графік перетинає горішню і долішню риски обмежувального вікна висота × широта= якою маленькою не була б , отже не рівномірно неперервна. Тоді як, функція рівномірно неперервна.

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Нехай дано два метричні простори   і  . Функція   називається рівномірно неперервною на підмножині   якщо

 .

Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного   рівномірно неперервна, якщо

 

Вибір   у визначенні рівномірної неперервності залежить від  , але не від  .

ВластивостіРедагувати

  • Функція, рівномірно неперервна на множині   неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Наприклад, функція
 

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому   можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на   Інший приклад: функція

 

неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки

 

Для будь-якого   можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини   такий, що різниця значень функції   на кінцях відрізка буде більше   Зокрема, на відрізку   різниця значень функції збігається до  

  • (Теорема Кантора — Гейне) Функція, неперервна на компактній підмножині   рівномірно неперервна на ній. Зокрема якщо   то вона рівномірно неперервна на  
  • Нехай   це рівномірно неперервне відображення, і  послідовність Коші в   Тоді   — послідовність Коші в  
  • Будь-яке ліпшицеве відображення є рівномірно неперервним.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати