Зображуваний функтор

В теорії категорій, зображуваний функторфунктор спеціального типу з довільної категорії в категорію множин. У певному сенсі, такі функтори задають опис категорії в термінах множин і функцій.

ОзначенняРедагувати

Нехай Cлокально мала категорія, тоді для кожного її об'єкту A Hom(A, -) — функтор Hom, який відправляє об'єкти X у множини Hom(A, X).

Функтор F: CSet називається зображуваним, якщо він є натурально ізоморфним Hom(A, -) для деякого об'єкта A категорії C.

Контраваріантний функтор G з C в Set, називається зображуваним, якщо він є натурально ізоморфним контраваріантному hom-функтору Hom(-, A) для деякого об'єкта A категорії C.

Універсальні елементиРедагувати

Згідно леми Йонеди, натуральні перетворення Hom(A, -) в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A). Щоб отримати зображення F потрібно дізнатися, для якого uF(A) відповідне натуральне перетворення є ізоморфізмом. Це мотивує таке означення:

Універсальним елементом функтора F: CSet називається пара (A, u), де A — об'єкт у C і uF(A), такі що для будь-якої пари (X, v) , vF(X) існує єдиний морфізм f: AX, такий що (Ff) u = v.

Природне перетворення, індуковане uF(A) є ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли (A, u) — універсальний елемент. Тому на зображення функтора часто посилаються як на універсальні елементи. З універсальності випливає, що зображення функтора є єдиним з точністю до єдиного ізоморфізму (втім, єдиність випливає і з повноти вкладення Йонеди).

ПрикладиРедагувати

  • Розглянемо контраваріантний функтор P: SetSet, який відправляє множину у її булеан, а функцію у операцію взяття прообразу підмножини. Для зображення функтора потрібна пара (A, u), така що для будь-якої множини X, множина Hom (X, A) є ізоморфною P(X) через функцію ΦX(f) = (Pf)u = f-1(u). Візьмемо A = {0,1}, u = {1}, відповідна функція з X в Aхарактеристична функція множини S .
  • забуваючий функтор в Set дуже часто є зображуваним. Зокрема, забуваючий функтор буде зображеним (A, u), якщо A — вільний об'єкт над синґлетоном u .
    • забуваючий функтор GrpSet з категорії груп є зображуваним за допомогою пари (Z, 1).
    • забуваючий функтор RingSet з категорії кілець є зображуваним за допомогою пари (Z[x], x).
    • забуваючий функтор VectSet з категорії дійсних векторних просторів є зображуваним за допомогою пари (R, 1).
    • забуваючий функтор TopSet з категорії топологічних просторів є зображуваним через топологічний простір з одним елементом.
  • Нехай E є метричним простором. У категорії повних метричних просторів із метричними відображеннями (неперервними відображеннями, що не збільшують відстані) функтор, що переводить повний метричний простір X у Hom (E, X) є зображуваним за допомогою поповнення простору E і вкладення простору E у своє поповнення.
  • Нехай E є топологічним простором. У категорії компактних топологічних просторів функтор, що переводить компактний простір X у Hom (E, X) є зображуваним за допомогою компактифікації Стоуна — Чеха простору E.
  • Нехай R є комутативним кільцем, а E і F двома R-модулями. Функтор, що кожному R-модулю G зіставляє множину білінійних відображень із   у G є зображуваним за допомогою тензорного добутку E і F.
  • Нехай X є топологічним простором і Y підмножиною X. Розглянемо контраваріантний функтор із категорії топологічних просторів у категорію множин, що кожному топологічному простору A зіставляє множину неперервних відображень із A у X образи яких належать Y. Цей функтор зображується за допомогою індукованої топології з X на Y.
  • Нехай X є локально компактним топологічним простором і Y довільним топологічним простором. Функтор   зображується за допомогою простору неперервних функцій із X у Y із компактно-відкритою топологією.

Зв'язок з універсальними стрілками і спряженими функторамиРедагувати

Категорні означення універсальної стрілки і спряжених функторів можуть бути виражені через зображувані функтори.

Нехай G: DC — функтор і X — об'єкт C. Тоді (A, φ) — універсальна стрілка з X в G тоді і тільки тоді, коли (A, φ) — зображення функтора HomC(X, G -) з D в Set. З цього випливає, що G має лівий спряжений функтор F тоді і тільки тоді, коли HomC(X, G-) є зображуваним для всіх X в C.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Douady, Adrien; Douady, Régine (2005). Algèbre et théories galoisiennes. Nouvelle bibliothèque mathématique. Paris: Cassini. ISBN 978-2-842-25005-8. 
  • Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1. 
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (вид. 2nd). Springer. ISBN 0-387-98403-8.