В теорії категорій, лема Йонеди — абстрактний результат про властивості функтора Hom. Вона є узагальненням теореми Келі в теорії груп (якщо розглядати групу як категорію з одним об'єктом). Лема дозволяє розглянути вкладення довільної категорії в категорію функторів з неї в Set. Лема Йонеди — важливий інструмент, який дозволив отримати багато важливих результатів в алгебраїчній геометрії і теорії представлень.

Загальний випадок лемиРедагувати

У довільній (локально малій) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom, що позначається

 

  переводить об'єкт   у множину морфізмів   а морфізм   у морфізм   (композицію із   зліва) що переводить   із   у морфізм   у  . Тобто,

 .

Нехай F — довільний функтор з C в Set. Лема Йонеди стверджує, що:

для будь-якого об'єкта A категорії C, натуральні перетворення з hA в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A):

 

Для даного натурального перетворення Φ з hA в F відповідний елемент F(A) це  , тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма.

Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set. А саме для довільного морфізму   виконується рівність  (де   — натуральне перетворення із  у F, для якого для  визначається  ) і для довільного морфізму  функторів із C в Set виконується рівність  

Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор

 

що відправляє X у множину Hom(X, A). Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set

 

ДоведенняРедагувати

Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі:

Діаграма показує, що натуральне перетворення Φ повністю визначається  , оскільки для будь-якого морфізма f: AX

 

Більш того, ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого uF(A). Справді нехай f: AX і g: XY — деякі морфізми. Тоді   переводить  у  і  , а також  . Тому  і введене перетворення є справді натуральним.

Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей  згідно з означенням натурального перетворення   і заданням Φ через  . Рівність  випливає з того, що  є морфізмами функторної категорії SetC і тому для них виконується правило композицій.

Доведення контраваріантного випадку є аналогічним.

Вкладення ЙонедиРедагувати

Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom. В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує, що

 

Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom-функтор hA = Hom(A,-) і кожен морфізм f: BA у відповідне натуральне перетворення Hom(f,-) задає контраваріантний функтор h- з C в SetC (тобто категорію коваріантних функторів із C в Set), або коваріантний функтор

 

У цій ситуації лема Йонеди стверджує, що h-цілком унівалентний функтор, тобто задає вкладення Cop в категорію функторів в Set. У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди. Нехай F — довільний функтор з C в Set, тобто F є об'єктом SetC. Тоді можна ввести F для якого  Аналогічно можна ввести F'' і т. д. Лема Йонеди стверджує, що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом SetC.

У контраваріантному випадку по лемі Йонеди

 

Отже, h- задає цілком унівалентний коваріантний функтор (вкладення Йонеди)

 

Зображувані функториРедагувати

Функтор F із деякої (локально малої) категорії C в Set називається зображуваним, якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між F і функтором  . За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта A і натурального ізоморфізму.

Важливим наслідком леми Йонеди є той факт, що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії, а також елемента   для якого виконується умова: для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента   існує єдиний морфізм f: AB для якого  

Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A, а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент   і тоді для морфізма f: AB виконується рівність  Залишається лише довести, що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли виконується додаткова умова. Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли відображення  буде бієкцією для всіх об'єктів B. Але  тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елемента   існує єдиний морфізм f: AB для якого   що і треба було довести.

ЛітератураРедагувати