Відкрити головне меню

Повні і унівалентні функтори

В теорії категорій унівалентним функтором (відповідно Повним функтором) називається функтор, який є ін'ективним (відповідно сюр'єктивним) на кожній множині морфізмів із фіксованими образом і прообразом.

Більш точно, нехай C і Dлокально малі категорії і нехай F: CD — функтор з C у D. Цей функтор індукує функцію

для кожної пари об'єктів X і Y з C. Функтор F називається

для кожних X і Y в C.

ВластивостіРедагувати

  • Унівалентний функтор не обов'язково є ін'єктивним на об'єктах категорії C, тому образ цілком унівалентного функтора може не бути категорією, ізоморфною C. Аналогічно, повний функтор не обов'язково є сюр'єктивним на об'єктах. Однак цілком унівалентний функтор є ін'єктивним на об'єктах з точністю до ізоморфізму, тобто якщо F: CD є цілком унівалентним і  , то   (в цьому випадку говорять, що функтор F відображає ізоморфізми).
  • Для будь-якого унівалентного функтора  , якщо   є епіморфізмом (мономорфізмом), то   теж є епіморфізмом (мономорфізмом).
Дійсно якщо   — морфізми для яких  , то з означення функтора випливає, що   Оскільки   є епіморфізмом то  . Оскільки   є унівалентним, то   Твердження для мономорфізмів доводиться аналогічно.

ПрикладиРедагувати

  • Функтор U: GrpSet, що переводить кожну групу у відповідну множину без групової структури є унівалентним, оскільки гомоморфізм груп однозначно визначається функцією на множинах-носіях. Категорія з унівалентним функтором у Set називається конкретною категорією.
  • Функтор, який вкладає Ab в Grp є цілком унівалентим.

Див. ТакожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — Москва : Мир.
  • Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.