Конкретна категорія

категорія, забезпечена строгим функтором у категорію множин

Конкретна категорія в математиці — категорія, забезпечена строгим функтором у категорію множин. Завдяки цьому функтору можна оперувати з об'єктами такої категорії в спосіб, подібний до роботи з множинами з додатковою структурою, а морфізми подавати як функції, що зберігають додаткову структуру. Багато категорій мають очевидну інтерпретацію конкретних категорій, наприклад, категорія груп, категорія топологічних просторів і власне категорія множин. З іншого боку, існують категорії, що не конкретизуються; наприклад, категорія гомотопій топологічних просторів неконкретизовна, тобто не допускає строгого функтора в категорію множин.

Визначення

ред.

Конкретна категорія — це пара  , така що:

Функтор   є забутливим функтором, який зіставляє об'єкту категорії його «множину-носій».

Категорія   конкретизовна, якщо існує строгий функтор з неї категорію множин. Зокрема, всі малі категорії конкретизовні: функтор   можна визначити як функтор, що відправляє об'єкт   категорії   у множину всіх стрілок   (для всіляких об'єктів  ), а морфізм   категорії   — морфізм  , який зіставляє стрілці   композицію  .

Інтуїція

ред.

Всупереч інтуїції, «конкретність» — це не властивість, яку категорія може мати або не мати, а додаткова структура, якою її можна забезпечити, крім того, категорія може допускати кілька строгих функторів у Set. Проте на практиці цей функтор зазвичай очевидний.

Вимога строгості   означає, що він відображає різні морфізми з фіксованим образом і прообразом у різні функції на множинах. Однак він може «склеювати» різні об'єкти категорії, і, якщо це станеться, він відображатиме різні морфізми в одну функцію.

Наприклад, якщо   and   — дві різні топології на одній множині  , то   і   — різні об'єкти категорії Top топологічних просторів і неперервних відображень, але вони відображаються в одну й ту саму множину   під дією функтора Top   Set. Більш того, тотожні морфізми   і   розуміють як різні морфізми в Top, однак їм відповідає та сама функція, а саме тотожна функція на  .

Неконкретизовні категорії

ред.

Категорію називають неконкретизовною, якщо немає сьрогого функтора з неї в категорію множин.

Наприклад, категорія hTop, об'єкти якої — топологічні простори, а морфізми — класи гомотопних функцій, неконкретизовна. Хоча об'єкти цієї категорії можна подати як множини, проте морфізми в ній — це не функції, а, швидше, класи функцій. Відсутність строгого функтора з hTop у Set довів 1970 року Пітер Фрайд[en]. Раніше було показано, що категорія всіх малих категорій та натуральних перетворень неконкретизовна.

Література

ред.
  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (тепер безкоштовне онлайн-видання).
  • Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Вперше опубліковано в: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Перепубліковано в безкоштовному онлайновому журналі: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), з дозволу Springer-Verlag.
  • Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.