Відкрити головне меню

Теорема Келі  — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів . Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.

Твердження теоремиРедагувати

Нехай    — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо   її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді

 . Де позначення   означає ізоморфність групG і H.

ДоведенняРедагувати

Визначимо функцію   так:   Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є  ) тож  .

Визначимо тепер відображення: . Зважаючи, що різним   відповідають різні функції   маємо   і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей:

  

Остаточно з того, що T є бієктивним відображенням і гомоморфізмом одержуємо  

ЛітератураРедагувати