Простір петель — конструкція у топології, особливо важлива у теорії гомотопії.

ОзначенняРедагувати

Нехай   є топологічним простором із виділеною точкою. Нехай   є простором усіх неперервних функцій  , із компактно-відкритою топологією. Простором петель   називається підпростір

 

з топологією підпростору.

Еквівалентно можна розглянути одиничне коло   із деякою виділеною точкою   і тоді задати

 

Елементами простору   є замкнуті контури   із початковою та кінцевою точкою  .

Простір петель   є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю   для всіх  .

Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається   і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із   у   із компактно-відкритою топологією.

Простір петель як функторРедагувати

Якщо   і   є топологічними просторами із виділеними точками і   є неперервним відображенням, воно породжує неперервне відображення між просторами петель

 .

Якщо   є третім топологічним простором із виділеною точкою і   є неперервним відображенням то

 .

Таким чином одержується функтор на категорії топологічних просторів із виділеною точкою.[1]

Гомотопії та фундаментальні групиРедагувати

Гомотопією між двома петлями   називається неперервне відображення

 , для якого
    для всіх  
    для всіх  
  для всіх  

Можна уявити, що петлі   і   за допомогою відображення   постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі   також є петлями з виділеною точкою  . Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.

Гомотопія між петлями — відношення еквівалентності, множина класів еквівалентності на   позначається  . Клас еквівалентності петлі   позначається   і називається класом гомотопії.

Якщо задано дві петлі  , для них можна дати означення добутку  , як петлі, яка спочатку пробігає петлю  , а потім  . Точніше

 .

Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині   класів гомотопії:  . Разом із цим добутком   є групою, яка називається фундаментальною групою для   Нейтральним елементом цієї групи є  , клас гомотопії постійної петлі.

Зв'язок із редукованою надбудовоюРедагувати

За означенням редукована надбудова   топологічного простору із виділеною точкою   є факторпростором

 .

Нехай   позначає відображення на факторпростір і образ підпростору   є виділеною точкою у  . Якщо   є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення

 

одержується неперервне відображення

 

і також неперервне відображення

 .

Оскільки образами   і   при відображенні   є виділена точка у   і   є відображенням просторів із виділеною точкою, то  , тобто   є елементом простору петель  .

Таким чином існує бієктивне відображення

 .

у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори   і   є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона. Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором  .

ПриміткиРедагувати

  1. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Розділ 4.4: Loop Space

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619. 
  • Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7