Еквівалентно можна розглянути одиничне коло із деякою виділеною точкою і тоді задати
Елементами простору є замкнуті контури із початковою та кінцевою точкою .
Простір петель є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю для всіх .
Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із у із компактно-відкритою топологією.
Можна уявити, що петлі і за допомогою відображення постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі також є петлями з виділеною точкою . Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.
Якщо задано дві петлі , для них можна дати означення добутку , як петлі, яка спочатку пробігає петлю , а потім . Точніше
.
Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині класів гомотопії: . Разом із цим добутком є групою, яка називається фундаментальною групою для Нейтральним елементом цієї групи є , клас гомотопії постійної петлі.
Нехай позначає відображення на фактор-простір і образ підпростору є виділеною точкою у .
Якщо є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення
одержується неперервне відображення
і також неперервне відображення
.
Оскільки образами і при відображенні є виділена точка у і є відображенням просторів із виділеною точкою, то , тобто є елементом простору петель .
у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори і є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона.
Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором .
Додатково також оскільки редукована надбудова завжди є асоціативним H'-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), а простір петель є асоціативним H-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), то на класах гомотопій і можна задати стандартні групові структури і тоді породжена бієкція між цими множинами також є ізоморфізмом груп.
Важливим частковим випадком є коли тобто є n-гіперсферою із виділеною точкою. Тоді за означенням є гомотопічною групою, а редукована надбудова є гомеоморфною гіперсфері. Тому із попереднього випливає для будь якого простору із виділеною точкою ізоморфізм: