Одиничне коло

Одиничне коло — це коло з радіусом 1 та центром в початку координат. Поняття одиничного кола можна легко узагальнити до n-вимірного простору ($n>2$). У такому випадку використовується термін «Одинична сфера».

Для координат всіх точок на колі, за теоремою Піфагора, виконується рівність $x^{2}+y^{2}=1.$

Не плутайте терміни «коло» і «круг»!

• Коло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається «центром кола», є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.
• Круг — геометрична фігура обмежена колом. Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центр круга) не перевищує заданої відстані (радіуса). Коло є межею круга.

Одиничне коло є основою в принципі роботи координатного транспортиру.

Тригонометричні функції

Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Синус та косинус можуть бути описані наступним чином: об'єднавши будь-яку точку $(x,y)$ на одиничному колі з початком координат $(0,0)$, ми отримаємо відрізок, що знаходиться під кутом $\alpha$ відносно додатного напрямку осі абсцис. Тоді:

Косинусом кута називається відношення абсциси точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до його радіуса:

$\cos \alpha ={\frac {x}{R}}={\frac {x}{1}}=x$

Синусом кута називається відношення ординати точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до його радіуса:

$\sin \alpha ={\frac {y}{R}}={\frac {y}{1}}=y$

Тангенсом кута називається відношення ординати точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до її абсциси:

$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {y}{x}}$

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до її ординати:

$\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x}{y}}$,

де $R$ це радіус одиничного кола.

Підставивши ці значення в раніше наведене рівняння $x^{2}+y^{2}=1$, ми отримуємо:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$

Зверніть увагу на загальновживане написання $\cos ^{2}x=(\cos x)^{2}$.

Також тут наочно описується періодичність тригонометричниих функцій, так як кут відрізка не залежить від кількості «повних обертів»:

$\sin(\alpha +2\pi k)=\sin \alpha$

$\cos(\alpha +2\pi k)=\cos \alpha$

$\operatorname {tg} (\alpha +\pi k)=\operatorname {tg} \alpha$

$\operatorname {ctg} (\alpha +\pi k)=\operatorname {ctg} \alpha$

для всіх цілих чисел $k$, тобто для $k\in \mathbb {Z} .$

Нехай точка $P_{0}$- правий кінець горизонтального діаметра. Кожному дійсному числу $\alpha$ можна поставити у відповідність точку кола $P_{\alpha }$ одиничного кола за такими правилами:

1. Якщо $\alpha >0$ , то, рухаючись по колу із точки $P_{0}$ в напрямі проти годинникової стрілки (додатній напрям обходу кола), описати по колу слід довжину $\alpha$ , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою $P_{\alpha }$.
2. Якщо $\alpha <0$ , то, рухаючись по колу із точки $P_{0}$ в напрямі за годинниковою стрілкою, описати по колу слід довжину $\left\vert \alpha \right\vert$ , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою $P_{\alpha }$.
3. Якщо $\alpha =0$ , то, то у відповідність ставиться точка $P_{0}$.
4. Якщо $\alpha =\alpha _{0}+2\pi k$, де $k$ - ціле число, то при повороті на кут $\alpha$ одержають одну й ту ж точку, що й при повороті на кут $\alpha _{0}$.
5. Якщо точка $P$ відповідає числу $\alpha$, то вона і відповідає всім числам $\alpha =\alpha +2\pi k$, де$2\pi$ - довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а $k$ - ціле число, що показує кількість повних обертів по колу в ту чи іншу сторону.

Комплексна площина

В комплексній площині одиничне коло — це множина $G\subset \mathbb {C}$:

$G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}$

Множина $G$ є підгрупою групи комплексних чисел по множенню, її нейтральним елементом є $e^{i0}=1$).

Посилання

Одиничне коло в тригонометрії: основи та застосування.