Смеш-добуток
У математиці, смеш-добутком[1] (або ∧-добутком) двох просторів із виділеними точками (X, x0) і (Y, y0) називається фактор-простір добутку просторів X × Y щодо відношення еквівалентності (x, y0) ∼ (x0, y) для всіх x ∈ X і y ∈ Y. Смеш-добуток є простором із виділеною точкою, якою є клас еквівалентності (x0, y0). Смеш-добуток зазвичай позначається X ∧ Y або X ⨳ Y. Смеш-добуток залежить від вибору виділених точок (якщо X і Y не є однорідними просторами).
Смеш-добуток найчастіше використовується у теорії гомотопії. Оскільки в теорії гомотопії часто розглядаються інші категорії окрім категорії усіх топологічних просторів іноді використовуються модифікації в означенні смеш-добутку. Наприклад, смеш-добуток двох CW-комплексів є CW комплекс лише якщо в означенні замість звичайного добутку топологічних просторів використовується добуток CW комплексів.
Означення
ред.Еквівалентно означення смеш-добутку можна дати за допомогою букету просторів.
Простори X і Y можна ідентифікувати із підпросторами X × Y, а саме X × {y0} і {x0} × Y. Ці підпростори перетинаються в єдиній точці: (x0, y0), яка є виділеною точкою у X × Y. Об'єднання цих підпросторів можна ідентифікувати із букетом просторів X ∨ Y. Ідентифікація породжується двома неперервними відображеннями: Відображення відправляють виділені точки просторів X і Y у виділену точку (x0, y0) і тому індукують відображення Це відображення є гомеоморфізмом.
Тоді еквівалентно можна дати означення смеш-добутку як фактор-простору
Якщо і є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками і стандартний тензорний добуток функцій, то Тому можна дати означення смеш-добутку функцій між просторами із виділеними точками: якщо є класом еквівалентності у то
Властивості
ред.- Смеш-добуток будь-якого простору із виділеною точкою X із 0-сферою (яка є дискретним простором із двома точками) є гомеоморфним простору X.
- Якщо , а також є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками то
- Якщо є гомотопними між собою і теж є гомотопними, то і відображення і є гомотопними. Також є гомеоморфізмом, якщо гомеоморфізмами є і
- Для будь-яких трьох просторів із виділеними точками простори і є гомеоморфними.
- Якщо додатково є компактними просторами і є гаусдорфовим або є компактними просторами і є гаусдорфовим то також
- Натомість для категорії усіх топологічних просторів з виділеними точками, остання властивість не виконується. Як контрприклад можна розглянути і .[2][3]
- Категорії просторів із виділеними точками (наприклад компактно породжені простори) у яких існують натуральні (із збереженням виділених точок) гомеоморфізми
- є симетричною моноїдальними категоріями де смеш-добуток є моноїдальним добутком, а 0-сфера є одиничним об'єктом. Смеш-добуток можна розглядати як тензорний добуток у відповідній категорії просторів з виділенимими точками.
Приклади
ред.
- Смеш-добуток двох кіл є фактор-простором тора гомеоморфним 2-сфері.
- Смеш-добуток двох сфер Sm і Sn є гомеоморфним сфері Sm+n.
- Якщо позначити одиничну кулю відповідної розмірності, то є гомеоморфною Також існує гомеоморфізм між парами просторів і і тому фактор-простір є гомеоморфним фактор-простору
- Розглянемо тепер композицію відображення де оба відображення є очевидними відображеннями на фактор-простори. Ця композиція є відображенням простору на фактор-простір по підпростору Образ цього підпростору є виділеною точкою у Тому є гомеоморфним Разом з попереднім звідси випливає, що є гомеоморфним І остаточно звідси одержується гомеоморфізм і
- Смеш-добуток простору X із колом є гомеоморфним редукованій надбудові X:
- Аналогічно із редукованою надбудовою за допомогою смеш-добутку можна дати означення редукованого конуса: для простору X редукованим конусом називається смеш-добуток де позначає одиничний відрізок Редукований конус є стягуваним простором.
- k-разове застосування редукованої надбудови до простору X приводить до простору гомеоморфного смеш-добутку X і k-сфери
Відношення спряження
ред.Аналогію між тензорним добутком і смеш-добутком можна більш точно описати за допомогою спряжених функторів. У категорії модулів над комутативним кільцем R, функтор тензорного добутку є лівим спряженим до функтора Hom тобто:
У категорії просторів із виділеними точками, смеш-добуток відіграє роль тензорного добуток у цій формулі. Зокрема, якщо A є локально компактним гаусдорфовим простором, тоді є спряження:
де позначає неперервні відображення, що відображають виділену точку у виділену точку і на задана компактно-відкрита топологія.
Зокрема, якщо є одиничне коло , то функтор надбудови є лівим спряженим до функтора простору петель :
Примітки
ред.- ↑ Golasinski, M. (2020). Гомотопічна нільпотентність та ко-нільпотентність. Proceedings of the International Geometry Center. Університет Вармії та Мазурі. Архів оригіналу за 1 березня 2021. Процитовано 20 лютого 2021.
- ↑ Puppe, Dieter (1958). Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I. Mathematische Zeitschrift. 69: 299—344. doi:10.1007/BF01187411. MR 0100265. (p. 336)
- ↑ May, J. Peter; Sigurdsson, Johann (2006). Parametrized Homotopy Theory. Mathematical Surveys and Monographs. Т. 132. Providence, RI: American Mathematical Society. section 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5. MR 2271789.
Див. також
ред.Література
ред.- Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 8 травня 2020.
- Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619