У математиці, смеш-добутком[1] (або ∧-добутком) двох просторів із виділеними точками (X, x0) і (Y, y0) називається фактор-простір добутку просторів X × Y щодо відношення еквівалентності (xy0) ∼ (x0y) для всіх x ∈ X і y ∈ Y. Смеш-добуток є простором із виділеною точкою, якою є клас еквівалентності (x0, y0). Смеш-добуток зазвичай позначається X ∧ Y або X ⨳ Y. Смеш-добуток залежить від вибору виділених точок (якщо X і Y не є однорідними просторами).

Смеш-добуток найчастіше використовується у теорії гомотопії. Оскільки в теорії гомотопії часто розглядаються інші категорії окрім категорії усіх топологічних просторів іноді використовуються модифікації в означенні смеш-добутку. Наприклад, смеш-добуток двох CW-комплексів є CW комплекс лише якщо в означенні замість звичайного добутку топологічних просторів використовується добуток CW комплексів.

Означення

ред.

Еквівалентно означення смеш-добутку можна дати за допомогою букету просторів.

Простори X і Y можна ідентифікувати із підпросторами X × Y, а саме X × {y0} і {x0} × Y. Ці підпростори перетинаються в єдиній точці: (x0, y0), яка є виділеною точкою у X × Y. Об'єднання цих підпросторів можна ідентифікувати із букетом просторів XY. Ідентифікація породжується двома неперервними відображеннями:   Відображення відправляють виділені точки просторів X і Y у виділену точку (x0, y0) і тому індукують відображення   Це відображення є гомеоморфізмом.

Тоді еквівалентно можна дати означення смеш-добутку як фактор-простору

 

Якщо   і   є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками і   стандартний тензорний добуток функцій, то   Тому можна дати означення смеш-добутку функцій між просторами із виділеними точками: якщо   є класом еквівалентності   у   то  

Властивості

ред.
  • Смеш-добуток будь-якого простору із виділеною точкою X із 0-сферою (яка є дискретним простором із двома точками) є гомеоморфним простору X.
  • Якщо  , а також   є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками то  
  • Якщо   є гомотопними між собою і   теж є гомотопними, то і відображення   і   є гомотопними. Також   є гомеоморфізмом, якщо гомеоморфізмами є   і  
  • Для будь-яких трьох просторів   із виділеними точками простори   і   є гомеоморфними.
  • Якщо додатково   є компактними просторами і   є гаусдорфовим або   є компактними просторами і   є гаусдорфовим то також  
  • Натомість для категорії усіх топологічних просторів з виділеними точками, остання властивість не виконується. Як контрприклад можна розглянути   і  .[2][3]
  • Категорії просторів із виділеними точками (наприклад компактно породжені простори) у яких існують натуральні (із збереженням виділених точок) гомеоморфізми
     
є симетричною моноїдальними категоріями де смеш-добуток є моноїдальним добутком, а 0-сфера є одиничним об'єктом. Смеш-добуток можна розглядати як тензорний добуток у відповідній категорії просторів з виділенимими точками.

Приклади

ред.
 
Візуалізація смеш-добутку  , як фактор-простору  .


  • Смеш-добуток двох кіл є фактор-простором тора гомеоморфним 2-сфері.
  • Смеш-добуток двох сфер Sm і Sn є гомеоморфним сфері Sm+n.
Якщо позначити   одиничну кулю відповідної розмірності, то   є гомеоморфною   Також існує гомеоморфізм між парами просторів   і   і тому фактор-простір   є гомеоморфним фактор-простору  
Розглянемо тепер композицію відображення   де оба відображення є очевидними відображеннями на фактор-простори. Ця композиція є відображенням простору   на фактор-простір по підпростору   Образ цього підпростору є виділеною точкою у   Тому   є гомеоморфним   Разом з попереднім звідси випливає, що   є гомеоморфним   І остаточно звідси одержується гомеоморфізм   і  
  • Смеш-добуток простору X із колом є гомеоморфним редукованій надбудові X:
     
  • Аналогічно із редукованою надбудовою за допомогою смеш-добутку можна дати означення редукованого конуса: для простору X редукованим конусом називається смеш-добуток   де   позначає одиничний відрізок   Редукований конус є стягуваним простором.
  • k-разове застосування редукованої надбудови до простору X приводить до простору гомеоморфного смеш-добутку X і k-сфери
     

Відношення спряження

ред.

Аналогію між тензорним добутком і смеш-добутком можна більш точно описати за допомогою спряжених функторів. У категорії модулів над комутативним кільцем R, функтор тензорного добутку   є лівим спряженим до функтора Hom   тобто:

 

У категорії просторів із виділеними точками, смеш-добуток відіграє роль тензорного добуток у цій формулі. Зокрема, якщо A є локально компактним гаусдорфовим простором, тоді є спряження:

 

де   позначає неперервні відображення, що відображають виділену точку у виділену точку і на   задана компактно-відкрита топологія.

Зокрема, якщо   є одиничне коло  , то функтор надбудови   є лівим спряженим до функтора простору петель  :

 

Примітки

ред.
  1. Golasinski, M. (2020). Гомотопічна нільпотентність та ко-нільпотентність. Proceedings of the International Geometry Center. Університет Вармії та Мазурі. Архів оригіналу за 1 березня 2021. Процитовано 20 лютого 2021.
  2. Puppe, Dieter (1958). Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I. Mathematische Zeitschrift. 69: 299—344. doi:10.1007/BF01187411. MR 0100265. (p. 336)
  3. May, J. Peter; Sigurdsson, Johann (2006). Parametrized Homotopy Theory. Mathematical Surveys and Monographs. Т. 132. Providence, RI: American Mathematical Society. section 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5. MR 2271789.

Див. також

ред.

Література

ред.