Букет просторів — топологічний простір, який інтуїтивно можна отримати склеюванням декількох топологічних просторів по одній точці в кожному просторі. Букети просторів часто використовуються в алгебричній топології для обчислень фундаментальних груп і груп гомологій.

Означення

ред.

Букет   двох просторів   і   із виділеними точками   і   можна визначити як фактор-простір диз'юнктного об'єднання   і  

 

де   позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що  . У цьому відношенні всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать дві точки  .

Подібним чином визначається букет довільної множини просторів із виділеними точками  

 

де   позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що   для всіх   і  . Як і вище, для цього відношення всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать всі виділені точки  .

Букет загалом залежить від вибору виділених точок і природним чином є простором з виділеною точкою.

Опис через категорії

ред.

Букет можна розуміти як кодобуток в категорії топологічних просторів з виділеною точкою. Крім того, букет можна розглядати як кодекартів квадрат схеми X < {•} > Y в категорії топологічних просторів, де {•} позначає простір з однієї точки.

Приклади

ред.
 
Букет двох кіл з виділеними точками
 
  • Букет двох кіл з виділеними точками є гомеоморфним «вісімці» (див. рисунок).
  • Букет з двох сфер (розмірності 2) зображений на нижньому рисунку.
  • В теорії гомотопій важливою конструкцією є ідентифікація точок, що лежать на деякому екваторі n-сфери  . Отриманий при цьому простір є букетом двох сфер  :
 

Властивості

ред.
  • Як бінарна операція, побудова букета є асоціативною і комутативною (з точністю до ізоморфізму).
  • Якщо відмічені точки допускають однозв'язні околи, то фундаментальна група букета   ізоморфна вільному добутку фундаментальних груп   і  . Це твердження випливає з теореми Зейферта — ван Кампена.
  • Нехай X є букетом двох просторів K і L з виділеними точками p і q і до того ж виділені точки є деформаційними ретрактами для деяких своїх околів UK і VL. Остання властивість означає, що наприклад відображення   є гомотоптим сталому відображенню, що для всіх елементів U приймає значення p і подібно для L і q. При цих припущеннях справедливою є рівність для редукованих гомологічних груп:
 
Зокрема для прикладів розглянутих вище:
 
 
  • Подібне співвідношення є справедливим і для відносних гомологічних груп:
 

Див. також

ред.

Література

ред.
  • Dold, Albrecht (1980). Lectures on algebraic topology. Т. 200 (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10369-1. MR 0606196.
  • Vick, James W. (1994), Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, т. 145, Springer, ISBN 9780387941264, архів оригіналу за 10 серпня 2020, процитовано 27 квітня 2017