Букет просторів
Букет просторів — топологічний простір, який інтуїтивно можна отримати склеюванням декількох топологічних просторів по одній точці в кожному просторі. Букети просторів часто використовуються в алгебричній топології для обчислень фундаментальних груп і груп гомологій.
Означення
ред.Букет двох просторів і із виділеними точками і можна визначити як фактор-простір диз'юнктного об'єднання і
де позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що . У цьому відношенні всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать дві точки .
Подібним чином визначається букет довільної множини просторів із виділеними точками
де позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що для всіх і . Як і вище, для цього відношення всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать всі виділені точки .
Букет загалом залежить від вибору виділених точок і природним чином є простором з виділеною точкою.
Опис через категорії
ред.Букет можна розуміти як кодобуток в категорії топологічних просторів з виділеною точкою. Крім того, букет можна розглядати як кодекартів квадрат схеми X < {•} > Y в категорії топологічних просторів, де {•} позначає простір з однієї точки.
Приклади
ред.- Букет двох кіл з виділеними точками є гомеоморфним «вісімці» (див. рисунок).
- Букет з двох сфер (розмірності 2) зображений на нижньому рисунку.
- В теорії гомотопій важливою конструкцією є ідентифікація точок, що лежать на деякому екваторі n-сфери . Отриманий при цьому простір є букетом двох сфер :
Властивості
ред.- Як бінарна операція, побудова букета є асоціативною і комутативною (з точністю до ізоморфізму).
- Якщо відмічені точки допускають однозв'язні околи, то фундаментальна група букета ізоморфна вільному добутку фундаментальних груп і . Це твердження випливає з теореми Зейферта — ван Кампена.
- Нехай X є букетом двох просторів K і L з виділеними точками p і q і до того ж виділені точки є деформаційними ретрактами для деяких своїх околів U ⊂ K і V ⊂ L. Остання властивість означає, що наприклад відображення є гомотоптим сталому відображенню, що для всіх елементів U приймає значення p і подібно для L і q. При цих припущеннях справедливою є рівність для редукованих гомологічних груп:
- Зокрема для прикладів розглянутих вище:
- Подібне співвідношення є справедливим і для відносних гомологічних груп:
Див. також
ред.Література
ред.- Dold, Albrecht (1980). Lectures on algebraic topology. Т. 200 (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10369-1. MR 0606196.
- Vick, James W. (1994), Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, т. 145, Springer, ISBN 9780387941264, архів оригіналу за 10 серпня 2020, процитовано 27 квітня 2017