Букет просторів

Букет просторів — топологічний простір, який інтуїтивно можна отримати склеюванням декількох топологічних просторів по одній точці в кожному просторі. Букети просторів часто використовуються в алгебричній топології для обчислень фундаментальних груп і груп гомологій.

Означення

Букет $X_{1}\vee X_{2}$ двох просторів $X_{1}$ і $X_{2}$ із виділеними точками $x_{1}\in X_{1}$ і $x_{2}\in X_{2}$ можна визначити як фактор-простір диз'юнктного об'єднання $X_{1}$ і $X_{2}$

$X_{1}\vee X_{2}=(X_{1}\amalg X_{2})/{\sim },$

де $\sim$ позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що $x_{1}\sim x_{2}$. У цьому відношенні всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать дві точки $x_{1},x_{2}$.

Подібним чином визначається букет довільної множини просторів із виділеними точками $\{(X_{\alpha },x_{\alpha })\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$

$\bigvee _{\alpha }X_{\alpha }=\coprod _{\alpha }X_{\alpha }/{\sim },$

де $\sim$ позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що $x_{\alpha }\sim x_{\beta }$ для всіх $\alpha$ і $\beta$. Як і вище, для цього відношення всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать всі виділені точки $x_{\alpha }$.

Букет загалом залежить від вибору виділених точок і природним чином є простором з виділеною точкою.

Опис через категорії

Букет можна розуміти як кодобуток в категорії топологічних просторів з виділеною точкою. Крім того, букет можна розглядати як кодекартів квадрат схеми X < {•} > Y в категорії топологічних просторів, де {•} позначає простір з однієї точки.

Приклади

Букет двох кіл з виділеними точками

• Букет двох кіл з виділеними точками є гомеоморфним «вісімці» (див. рисунок).
• Букет з двох сфер (розмірності 2) зображений на нижньому рисунку.
• В теорії гомотопій важливою конструкцією є ідентифікація точок, що лежать на деякому екваторі n-сфери $S^{n}$. Отриманий при цьому простір є букетом двох сфер $S^{n}$:

$S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}$

Властивості

• Як бінарна операція, побудова букета є асоціативною і комутативною (з точністю до ізоморфізму).
• Якщо відмічені точки допускають однозв'язні околи, то фундаментальна група букета $X_{1}\vee X_{2}$ ізоморфна вільному добутку фундаментальних груп $X_{1}$ і $X_{2}$. Це твердження випливає з теореми Зейферта — ван Кампена.
• Нехай X є букетом двох просторів K і L з виділеними точками p і q і до того ж виділені точки є деформаційними ретрактами для деяких своїх околів U ⊂ K і V ⊂ L. Остання властивість означає, що наприклад відображення $\operatorname {Id} _{U}:\operatorname {Id} _{U}(x)=x,\;\forall x\in U$ є гомотоптим сталому відображенню, що для всіх елементів U приймає значення p і подібно для L і q. При цих припущеннях справедливою є рівність для редукованих гомологічних груп:

${\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L).$

Зокрема для прикладів розглянутих вище:

${\tilde {H}}_{n}\left(S^{1}\vee S^{1}\right)\cong \left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &n=1\\0&{\mbox{if }}n\neq 1\end{matrix}}\right.$

${\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong =\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &n=2\\0&{\mbox{if }}n\neq 2\end{matrix}}\right.$

• Подібне співвідношення є справедливим і для відносних гомологічних груп:

$H_{n}(K\vee L,p=q)\cong H_{n}(K,p)\oplus H_{n}(L,q).$

Див. також

• Смеш-добуток

Література

• Dold, Albrecht (1980). Lectures on algebraic topology. Т. 200 (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10369-1. MR 0606196.
• Vick, James W. (1994), Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, т. 145, Springer, ISBN 9780387941264, архів оригіналу за 10 серпня 2020, процитовано 27 квітня 2017