У топології, надбудовою над топологічним простором X називається топологічний простір SX, що є фактором добутку по відношенню еквівалентності :

Надбудова над колом. Початковий простір позначено синім кольором, верхню і нижню точки зеленим.

Надбудову можна уявляти як циліндр над простором X, у якому ототожнили в точку як верхню, так і нижню межу. Також можна розглядати надбудову як об'єднання двох конусів (верхнього і нижнього) над простором X, склеєних по спільній основі.

Властивості

ред.
  • Надбудова над простором X гомеоморфна джойну   простору X і двоточкової множини («нульвимірної сфери»)  .
  • Будь-яке неперервне відображення   продовжується до неперервного відображення   за правилом  .
  • Гомологія надбудови є тісно пов'язаною з гомологією вихідного простору, відрізняючись (за винятком нульвимірних просторів) фактично зміщенням на одну розмірність. А саме:
 
Приведені гомології зміщуються рівно на одну розмірність:
 

Редукована надбудова

ред.

Редукованою (або зведеною) надбудовою топологічного простору з виділеною точкою (X, x0) називається фактор-простір   по відношенню еквівалентності  , де   — довільні точки і   — будь-яке число в інтервалі.

Редукована надбудова позначається ΣX і її можна уявити як простір SX у якому лінія {x0} × I , що сполучає верхню і нижню точки, стягується в одну точку.

Властивості

ред.
 
більш загально:
 
Перший гомеоморфізм одержується із композиції відображень
 ,
де   позначає стандартне відображення із одиничного відрізка на одиничне коло (що розглядається на комплексній площині), а   є проєкцією із добутку   на фактор-простір  
Ця композиція відображень переводить усі точки   у виділену точку смеш-добутку, отже задає відображення на редукованій надбудові. Це відображення є гомеоморфізмом.
Загальний гомеоморфізм одержується індукцією із використанням гомеоморфізмів   і асоціативності смеш-добутку, якщо лівий і середній із трьох множників є компактними і гаусдорфовими.
  • Для багатьох важливих топологічних просторів, зокрема CW-комплексів, редукована надбудова є гомотопно еквівалентною звичайній.
  • Σ є функтором з категорії топологічних просторів із виділеною точкою у себе. Він є спряженим зліва до функтора, що переводить топологічний простір X в його простір петель ΩX, тобто є природний ізоморфізм:
 


Див. також

ред.

Література

ред.