Конус в топологіїтопологічний простір, що одержується з вихідного простору стягненням підпростору його циліндра () в одну точку, тобто, фактор-простір . Конус над простором позначається .

Конус окружності. Початковий простір виділено синім кольором, стягнута кінцева точка виділена зеленим кольором.

Якщо - компактна підмножина евклідового простору, то конус над є гомеоморфним об'єднанню відрізків з у деяку точку простору, тобто, означення топологічного конуса узгоджується з означенням геометричного конуса. Однак топологічний конус є більш загальною конструкцією.

Приклади

ред.
  • Конус над точкою   дійсної прямої — інтервал  .
  • Конус над інтервалом дійсної прямої — трикутник (2 -симплекс).
  • Конус над многокутником  піраміда з основою  .
  • Конус над кругом — класичний конус (заповнений всередині).
  • Конус над колом — бокова поверхня конуса над кругом:
 ,
що є гомеоморфною кругу.
  • У загальному випадку конус над гіперсферою є гомеоморфним замкнутій  -вимірній кулі.
  • Конус над  -симплексом є  -симплексом.

Властивості

ред.
  • Конус   може бути сконструйований як циліндр постійного відображення  .
  • Всі конуси є лінійно зв'язними, оскільки будь-яку точку можна з'єднати з вершиною. Більш того, будь-який конус є стягуваним до вершини за допомогою гомотопії, що задається формулою  .
  • Якщо   є компактним і гаусдорфовим, то конус   можна подати як простір відрізків, що з'єднують кожну точку   з єдиною точкою; якщо   не є компактним або гаусдорфовим, то це не так, оскільки в загальному випадку топологія на фактор-просторі   буде сильнішою, ніж на множині відрізків, що з'єднують   з точкою.
  • В алгебричній топології конуси широко застосовуються завдяки тому, що за їм допомогою простір вкладається в стягуваний простір; в зв'язку з цим також важливим є наступний результат: простір   є стягуваним тоді і тільки тоді, коли він є ретрактом свого конуса.

Конічний функтор

ред.

Відображення   породжує конічний функтор   над категорією топологічних просторів  .

Редукований конус

ред.

Наведений конус - конструкція над топологічними просторами із виділеною точкою  :

 .

Природне вкладення   дозволяє розглянути будь-який топологічний простір із виділеною точкою як замкнуту підмножина свого редукованого конуса.

Див. також

ред.

Література

ред.