Конус (топологія)

Конус в топології — топологічний простір, що одержується з вихідного простору $X$ стягненням підпростору $X\times \{0\}$ його циліндра ($X\times [0,1]$) в одну точку, тобто, фактор-простір $(X\times [0,1])/(X\times \{0\})$. Конус над простором $X$ позначається $\mathrm {C} X$.

Конус окружності. Початковий простір виділено синім кольором, стягнута кінцева точка виділена зеленим кольором.

Якщо $X$ - компактна підмножина евклідового простору, то конус над $X$ є гомеоморфним об'єднанню відрізків з $X$ у деяку точку простору, тобто, означення топологічного конуса узгоджується з означенням геометричного конуса. Однак топологічний конус є більш загальною конструкцією.

Приклади

• Конус над точкою $p$ дійсної прямої — інтервал $\{p\}\times [0,1]$.
• Конус над інтервалом дійсної прямої — трикутник (2 -симплекс).
• Конус над многокутником $P$ — піраміда з основою $P$.
• Конус над кругом — класичний конус (заповнений всередині).
• Конус над колом — бокова поверхня конуса над кругом:

$\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}$,

що є гомеоморфною кругу.

• У загальному випадку конус над гіперсферою є гомеоморфним замкнутій $(n+1)$-вимірній кулі.
• Конус над $n$-симплексом є $(n+1)$-симплексом.

Властивості

• Конус $\mathrm {C} X$ може бути сконструйований як циліндр постійного відображення $X\to \{0\}$.
• Всі конуси є лінійно зв'язними, оскільки будь-яку точку можна з'єднати з вершиною. Більш того, будь-який конус є стягуваним до вершини за допомогою гомотопії, що задається формулою $h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)$.
• Якщо $X$ є компактним і гаусдорфовим, то конус $\mathrm {C} X$ можна подати як простір відрізків, що з'єднують кожну точку $X$ з єдиною точкою; якщо $X$ не є компактним або гаусдорфовим, то це не так, оскільки в загальному випадку топологія на фактор-просторі $\mathrm {C} X$ буде сильнішою, ніж на множині відрізків, що з'єднують $X$ з точкою.
• В алгебричній топології конуси широко застосовуються завдяки тому, що за їм допомогою простір вкладається в стягуваний простір; в зв'язку з цим також важливим є наступний результат: простір $X$ є стягуваним тоді і тільки тоді, коли він є ретрактом свого конуса.

Конічний функтор

Відображення $X\mapsto \mathrm {C} X$ породжує конічний функтор $\mathrm {C} :\mathbf {Top} \to \mathbf {Top}$ над категорією топологічних просторів $\mathbf {Top}$.

Редукований конус

Наведений конус - конструкція над топологічними просторами із виділеною точкою $(X,x_{0})$:

$\mathrm {C} (X,x_{0})={\big (}X\times [0,1]{\big )}/{\big (}(X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_{0}\right\}\times [0,1]){\big )}$.

Природне вкладення $x\mapsto (x,1)$ дозволяє розглянути будь-який топологічний простір із виділеною точкою як замкнуту підмножина свого редукованого конуса.

Див. Також

• Джойн (топологія)
• Надбудова (топологія)
• Стягуваний простір

Література

• Allen Hatcher, Algebraic topology. [Архівовано 20 лютого 2012 у WebCite] Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0