Конус (топологія)
Конус в топології — топологічний простір, що одержується з вихідного простору стягненням підпростору його циліндра () в одну точку, тобто, фактор-простір . Конус над простором позначається .
Якщо - компактна підмножина евклідового простору, то конус над є гомеоморфним об'єднанню відрізків з у деяку точку простору, тобто, означення топологічного конуса узгоджується з означенням геометричного конуса. Однак топологічний конус є більш загальною конструкцією.
Приклади
ред.- Конус над точкою дійсної прямої — інтервал .
- Конус над інтервалом дійсної прямої — трикутник (2 -симплекс).
- Конус над многокутником — піраміда з основою .
- Конус над кругом — класичний конус (заповнений всередині).
- Конус над колом — бокова поверхня конуса над кругом:
- ,
- що є гомеоморфною кругу.
- У загальному випадку конус над гіперсферою є гомеоморфним замкнутій -вимірній кулі.
- Конус над -симплексом є -симплексом.
Властивості
ред.- Конус може бути сконструйований як циліндр постійного відображення .
- Всі конуси є лінійно зв'язними, оскільки будь-яку точку можна з'єднати з вершиною. Більш того, будь-який конус є стягуваним до вершини за допомогою гомотопії, що задається формулою .
- Якщо є компактним і гаусдорфовим, то конус можна подати як простір відрізків, що з'єднують кожну точку з єдиною точкою; якщо не є компактним або гаусдорфовим, то це не так, оскільки в загальному випадку топологія на фактор-просторі буде сильнішою, ніж на множині відрізків, що з'єднують з точкою.
- В алгебричній топології конуси широко застосовуються завдяки тому, що за їм допомогою простір вкладається в стягуваний простір; в зв'язку з цим також важливим є наступний результат: простір є стягуваним тоді і тільки тоді, коли він є ретрактом свого конуса.
Конічний функтор
ред.Відображення породжує конічний функтор над категорією топологічних просторів .
Редукований конус
ред.Наведений конус - конструкція над топологічними просторами із виділеною точкою :
- .
Природне вкладення дозволяє розглянути будь-який топологічний простір із виділеною точкою як замкнуту підмножина свого редукованого конуса.
Див. також
ред.Література
ред.- Allen Hatcher, Algebraic topology. [Архівовано 20 лютого 2012 у WebCite] Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0