В математиці, а саме в топології ретрактом називають підпростір топологічного простору для якого існує ретракція — неперервне відображення з більшого простору в підпростір, що є тотожним відображенням на підпросторах. Ретракти і їх особливі види, як наприклад деформаційні ретракти і абсолютні ретракти мають важливе застосування в багатьох розділах топології, зокрема теорії гомотопій і теорії гомологій.

Означення

ред.

Нехай  топологічний простір і   — його підпростір. Неперервне відображення

 

називається ретракцією якщо звуження функції r на множину   є тотожним відображенням на  , тобто  . Еквівалентно, позначивши

 

вкладення   в  , ретракцією r є відображення для якого

 

Ретрактом топологічного простору   називається підпростір   цього простору, для якого існує ретракція   на  .

Пов'язані означення

ред.
  • Підпростір   простору   називається околичним ретрактом цього простору, якщо в   існує відкритий підпростір, що містить  , і для якого   є ретрактом.
  • Якщо ретракція простору   на його підпростір   гомотопна тотожному відображенню простору   на себе, то   називається деформаційним ретрактом простору  . Згідно означень в цьому випадку існує неперервне відображення   що задовольняє умови   Якщо додатково виконується умова   то   називається сильним деформаційним ретрактом простору  
  • Метризовний простір   називається абсолютним ретрактом (абсолютним околичним ретрактом), якщо він є ретрактом (відповідно околичним ретрактом) будь-якого метризовного простору, для якого   є замкнутим підпростором.

Властивості

ред.
  • Якщо простір   є гаусдорфовим, то будь-який ретракт простору   є замкнутим в  .
  • При переході від простору до його ретрактів зберігаються багато важливих властивостей. Зокрема, будь-яка властивість, яка зберігається при переході до неперервного образу, так само як і будь-яка властивість, що успадковується замкнутими підпросторами, зберігається і при переході до ретрактів. Тому компактність, зв'язність, лінійна зв'язність, сепарабельність, обмеження зверху на розмірність, паракомпактність, нормальність, локальна компактність , локальна зв'язність зберігаються при переході до ретрактів.
  • Якщо простір   має властивість нерухомої точки, тобто для кожного неперервного відображення існує точка така, що  , то і кожен ретракт простору   має властивість нерухомої точки.
  • Поняття ретракту має пряме відношення до питання про можливість продовження неперервних відображень. Так, підпростір   простору   є його ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке неперервне відображення простору   в довільний топологічний простір   можна продовжити до неперервного відображення всього простору   в  .

Властивості деформаційних ретрактів

ред.
  • Деформаційний ретракт простору гомотопічно еквівалентний цьому простору, тобто має з ним один і той же гомотопічний тип.
  • Навпаки, два гомотопічно еквівалентних простори завжди можна вкласти в деякий третій простір таким чином, що обидва вони будуть його деформаційними ретрактами.

Властивості абсолютних ретрактів

ред.
  • Для того щоб метризовний простір простір   був абсолютним ретрактом, необхідно, щоб він був ретрактом деякого опуклого підпростору лінійного нормованого простору, і достатньо, щоб   був ретрактом опуклого підпростору локально опуклого лінійного простору.
  • Довільний ретракт абсолютного ретракта знову є абсолютним ретрактом.
  • Кожен абсолютний ретракт є стягуваним по собі і локально стягуваним.
  • Всі редуковані гомологічні, редуковані когомологічіні, гомотопічні і когомотопічні групи абсолютного ретракта є тривіальними.
  • Метризовний простір   є абсолютним ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо, які б не були метризовний простір  , його замкнутий підпростір   і неперервне відображення простору   в  , його можна продовжити до неперервного відображення всього простору   в  .
  • Метризовний простір є абсолютним ретрактом тоді і тільки тоді коли він є стягуваним і абсолютним околичним ретрактом.
  • Абсолютні околичні ретракти є ретрактами відкритих підмножин опуклих підпросторів лінійних нормованих просторів. До їх числа відносяться всі компактні поліедри. Істотною їх властивістю є локальна стягуваність.
  • Будь-яка відкрита підмножина абсолютного околичного ретракта є абсолютним околичним ретрактом. Якщо для метризовного простору існує покриття абсолютними околичними ретрактами то і сам простір є абсолютним околичним ретрактом.
  • Довільний абсолютний околичний ретракт має тип гомотопії деякого CW-комплекса. Якщо до того ж простір є компактним то він має тип гомотопії скінченного CW-комплекса, а у випадку локальної компактності він має тип гомотопії локально скінченного CW-комплекса. Метризовний прості є абсолютним околичним ретрактом тоді і тільки тоді коли кожна його відкрита підмножина має тип гомотопії деякого CW-комплекса.

Приклади

ред.
  • Ретракт простору може бути набагато простішим його самого і більш зручним для конкретного дослідження. Так, одноточкова множина є ретрактом відрізка, прямої, площини.
  • Будь-яка непорожня замкнута підмножина досконалої множини Кантора є її ретрактом.
  • n-вимірна сфера Sn не є ретрактом (n+1)-вимірної кулі Bn+1 евклідового простору, де   так як замкнута куля має властивість нерухомої точки (теорема Брауера), а сфера цієї властивості не має.
  • Деяка (насправді довільна) точка простору   є деформаційним ретрактом тоді і тільки тоді коли простір   є стягуваним.
  • n-вимірна сфера Sn є сильним деформаційним ретрактом простору Rn+1\{0}; за гомотопне відображення можна взяти відображення
 
  • Всі опуклі підпростори локально опуклих лінійних просторів є абсолютними ретрактами; зокрема, такі як точка, відрізок, куля, пряма. Будь-який нормований простір є абсолютним ретрактом.
  • Будь-який топологічний многовид є абсолютним околичним ретрактом.
  • Будь-який локально скінченний CW-комплекс є абсолютним околичним ретрактом.

Література

ред.
  • Борсук, Кароль (1971), Теория ретрактов, Москва: Мир
  • Hu, Sze-Tsen (1965), Theory of Retracts, Wayne State University Press, MR 0181977