Лінійно зв'язний простір

топологічний простір, в якому будь-які дві точки можна з'єднати безперервної кривої

Лінійно зв'язний простір — це такий топологічний простір, в якому будь-які дві точки можна з'єднати безперервною кривою.

ОзначенняРедагувати

  • Розглянемо відрізок числової прямої   з визначеною на ньому стандартної топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір   Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок   знайдеться неперервне відображення   таке, що
     
  • Нехай дана підмножина  . Тоді на ньому природним чином визначається топологія  , індукована  . Якщо простір   лінійно зв'язаний, то підмножина   також називається лінійно зв'язаною у  .

ВластивостіРедагувати

  • Будь-який лінійно зв'язний простір зв'язний.
  • Зворотне невірно; наприклад замикання графіка функції   зв'язне, але лінійних не складно (ця множина містить відрізок   на осі ординат).
  • Неперервний образ лінійно зв'язного простору лінійно зв'язна.
  • Якщо простір X лінійно зв'язний і  , то гомотопічні групи   і   ізоморфні, причому цей ізоморфізм визначається однозначно з точністю до внутрішнього автоморфізму  .

Лінійна зв'язність на числовій прямійРедагувати

Будемо вважати, що  , а   — стандартна топологія числової прямої. Тоді

  • Підмножина   лінійно зв'язна тоді і тільки тоді, коли
     
тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.
  • Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є кінцевим або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:
     
  • Підмножина числової прямої лінійно зв'язна тоді і тільки тоді, коли вона зв'язна.

УзагальненняРедагувати

Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності  ). Простір   називається зв'язаним у розмірності  , якщо будь-яке відображення r-мірної сфери   в  , де  , гомотопно постійному відображенню.

Зокрема, лінійно зв'язний простір це 0-зв'язне простір, тобто будь-яке відображення двокрапки (тобто нульмерной сфери) гомотопно постійному відображенню.