Досконала множина

Досконала множина — замкнута множина, що не має ізольованих точок, тобто така, що збігається з множиною своїх граничних точок, або своєю похідною множиною. Іншими словами множина досконала якщо вона замкнена і щільна в собі. Це визначення справедливе для топологічних просторів.

Приклади

• Множина Кантора — ніде не щільна, досконала множина.
• Побудуємо сімейство досконалих ніде не щільних множин з додатною мірою. Кожна з цих множин (їх також називають канторовими), це множина точок, що залишаються на відрізку $[0;1]$ після видалення з нього послідовності інтервалів. Нехай $\alpha$ - довільне додатне число менше 1. Спочатку видалимо з $[0;1]$ всі точки відкритого інтервалу $\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\alpha ;{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}\alpha \right)$ довжини ${\frac {\alpha }{2}}$. Із двох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали, довжина кожного з яких дорівнює ${\frac {\alpha }{8}}$. Потім з кожного з чотирьох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали довжиною ${\frac {\alpha }{32}}$. Після $n$ кроків міра видалених інтервалів дорівнюватиме $\alpha \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +2^{-n}\right)$, тому міра сукупності видалених інтервалів після нескінченної послідовності видалень дорівнюватиме $\alpha$. Міра канторової множини, що залишилась, дорівнюватиме $1-\alpha$. Побудовані таким чином множини є досконалими, ніде не щільними множинами додатньої міри.

Властивості

• Кожна непорожня досконала множина в евклідовому просторі має потужність континуум.
• Множина точок конденсації довільної множини - досконала множина.
• Теорема Кантора-Бендиксона стверджує, що кожна множина дійсних чисел є об'єднанням досконалої множини своїх точок конденсації та зліченної множини. (Тут мається на увазі множина тих точок конденсації, що належать множині, досконалість цієї множини розуміється по відношенню до початкової множини).
• Теорема Девіса стверджує, що кожна незліченна множина дійсних чисел містить досконалу підмножину. Але ця теорема доведена у припущенні аксіоми детермінованості, що суперечить аксіомі вибору.

Джерела

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)