Відкрити головне меню

Алгебра над полемвекторний простір, на якому введено білінійний добуток узгоджений з структурою векторного простору. Це означає, що алгебра над полем є одночасно векторним простором і кільцем, і ці структури узгоджені. Узагальненням цього поняття є алгебра над кільцем, яка, взагалі кажучи, є не векторним простором, а модулем над деяким кільцем. Приклади алгебр виникають у багатьох розділах математики і інших дисциплін.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Нехай A — векторний простір над полем K , на якому визначена операція  , що називається множенням. Тоді A є алгеброю над K, якщо для будь-яких   виконуються рівності:

  •  
  •  
  •  .

Ці три властивості означають, що операція множення є білінійною. У випадку алгебр з одиницею можна дати еквівалентне визначення:

Алгебра з одиницею над полем K — кільце з одиницею A, разом з гомоморфізмом кілець з одиницею  , таким, що   належить центру кільця A (тобто множини елементів, що комутують по множенню з усіма іншими елементами). Після цього можна вважати, що A є векторним простором над K з наступною операцією множення на скаляр  :  

Алгебра називається асоціативною, якщо операція множення в ній асоціативна, алгеброю з одиницею — алгебра, в якій є нейтральний щодо множення елемент, комутативною — якщо операція множення в ній є комутативною.

Часто у визначенні алгебра явно вимагається асоціативність множення, тобто мається на увазі «асоціативна алгебра», проте є багато важливих прикладів неасоціативних алгебр.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Гомоморфізм K-алгебр — відображення  , для якого виконуються рівності:
    для всіх    
    для всіх    
    для всіх    
  • Підалгебра алгебри над полем K лінійний підпростір, для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
  • Лівий ідеал K—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення ідеалу кільця, це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
  • Алгебра з діленням — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів   і   рівняння   і   має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є тілом.
  • Центр алгебри А — множина елементів  , таких що   для будь-якого елемента  .

ПрикладиРедагувати

Асоціативні алгебриРедагувати

  • Комплексні числа є двовимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
  • Кватерніони є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
  • Попередні два приклади є полем і тілом відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має дільників нуля, є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на x зліва є лінійним перетворенням цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення ядро рівне нулю (так як x не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента b, тобто такий елемент y, що xy = b. Друга умова доводиться аналогічно.
  • Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
  • Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра многочленів K[x].
  • Алгебри функцій, такі як алгебра дійсних неперервних функцій, визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра голоморфних функцій, визначених на фіксованій відкритій підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
  • Алгебри квадратних матриць і більш загально лінійних операторів на гільбертовому просторі є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
  • Групова алгебра   в якій елементи групи   є базисом векторного поля  , що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з  . На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група  .

Неасоціативні алгебриРедагувати

Структурні коефіцієнтиРедагувати

Множення в алгебрі над полем однозначно задається добутками базисних векторів. Таким чином, для задання скінченновимірної алгебри над полем K досить вказати її розмірність  , визначити деякий базис   і подати «таблицю множення» — квадратну таблицю розмірів   Також множення в алгебрі однозначно можна задати вказавши   структурних коефіцієнтів  , що є елементами поля. Ці коефіцієнти визначаються з рівності:

 

Різні множини структурних коефіцієнтів можуть відповідати ізоморфним алгебрам.

Якщо K є тільки комутативним кільцем, а не полем, цей опис можливий, тільки коли алгебра A є вільним модулем.

ПрикладРедагувати

Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як ( ,  ,  ) відповідна таблиця множення задається як:

     
       
       
       

Структурні коефіцієнти визначені як:   всі інші коефіцієнти рівні нулю.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhailovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. - ISBN 1-4020-2690-0