Група Гротендіка

Групою Гротендіка називається деяка група, що є розширенням комутативного моноїда. Поняття активно використовується зокрема у теорії представлень, алгебраїчній геометрії і K-теорії. Названа на честь французького математика Александра Гротендіка, який ввів це поняття в середині 1950-х років.

Універсальна властивість

У найбільш простих термінах, група Гротендіка комутативного моноїда є універсальним способом перетворити цей моноїд в абелеву групу. Нехай $M$ є комутативним моноїдом тобто комутативною напівгрупою із нейтральним елементом. Операцію в $M$ переважно називають додаванням. Група Гротендіка моноїда $M$ (позначається зазвичай $K$ або $K_{0}$) є абелевою групою, яка є (в певному сенсі) розширенням моноїда $M$ до групи, тобто допускає операцію не тільки суми, але і різниці двох елементів.

Група Гротендіка $K$ повинна задовольняти універсальну властивість: існує гомоморфізм моноїдів

$i\colon M\rightarrow K$

такий, що для будь-якого гомоморфізму моноїдів

$f\colon M\rightarrow A$

в абелеву групу $A$ існує єдиний гомоморфізм абелевих груп

$g\colon K\rightarrow A$

такий, що

$f=g\circ i.$

У термінах теорії категорій, функтор, що переводить комутативний моноїд $M$ у його групу Гротендіка $K$ є лівим спряженим функтором функтора забуття із категорії абелевих груп у категорію комутативних моноїдів.

Явна побудова

Розглянемо декартовий добуток $M\times M$, елементами якого є пари $(a,b)$, де $a,b\in M$. На множині $M\times M$ можна ввести відношення еквівалентності, при якому елементи $(a,b)$ і $(a',b')$ є еквівалентними, якщо для них існує такий елемент $c\in M,$ що

$a+b'+c=a'+b+c$

Дане відношення дійсно є відношенням еквівалентності бо $(a,b)\sim (a,b)$ випливає з того, що $a+b=b+a,$ симетричність є очевидною, а з еквівалентностей $(a,b)\sim (a',b')$ і $(a',b')\sim (a'',b'')$ існування елементів $c,c'\in M,$ для яких $a+b'+c=a'+b+c$ і $a'+b''+c'=a''+b'+c'.$ Але додавши останні дві рівності можна отримати: $a+b''+(a'+b'+c+c')=a''+b+(a'+b'+c+c'),$ тобто також $(a,b)\sim (a'',b'')$ і відношення є транзитивним.

Нехай $[a,b]$ позначає клас еквівалентності відповідної пари. Тоді зокрема $[a,b]=[a+c,b+c]$ для всіх всіх $c\in M$.

На множині класів еквівалентності можна ввести операцію додавання як:

$[a,b]+[a',b']=[a+a',b+b'].$

Дана операція є коректно визначеною тобто не залежить від представників класів еквівалентності. Справді, якщо $(a,b)\sim (c,d)$ і $(a',b')\sim (c',d')$ то $a+d+e=b+c+e$ і $a'+d'+e'=b'+c'+e'$ для деяких $e,e'\in M$. Тоді додавши ці рівності отримаємо $a+a'+d+d'+(e+e')=b+b'+c+c'+(e+e'),$ тобто $(a+a',b+b')\sim (c+c',d+d').$

Із властивостей моноїда випливає, що це додавання буде асоціативною і комутативною операцією. Клас еквівалентності пар виду $(a,a)$ для всіх $a\in M$ є нейтральним (нульовим) елементом для такого додавання. Для класу еквівалентності $[a,b]$ клас еквівалентності $[b,a]$ буде оберненим. Таким чином множина класів еквівалентності із операцією додавання буде групою, яку і називають групою Гротендіка $K$ моноїда $M$. Клас еквівалентності $[a,b]$ називається також формальною різницею елементів $a$ і $b$ і позначається $a-b$.

Кожному елементу $a\in M$ можна поставити у відповідність формальну різницю $a-0$, тобто клас еквівалентності $[a,0]$, тобто існує гомоморфізм моноїда $M$ у його групу Гротендіка. Цей гомоморфізм буде ін'єктивним тоді і тільки тоді коли $M$ є моноїдом із скороченням, тобто із $a+c=b+c$ випливає, що $a=b.$

Приклади

Цілі числа

Найпростіший приклад групи Гротендіка — побудова цілих чисел із натуральних (включно із нулем). Натуральні числа із нулем і звичайним додаванням $(\mathbb {N} ,+)$ утворюють комутативний моноїд. Використовуючи конструкцію групи Гротендіка, розглянемо формальні різниці натуральних чисел $n-m$ із відношенням еквівалентності

$n-m\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.$

Тепер можна позначити

$n:=[n-0],$

$-n:=[0-n]$

для всіх $n\in \mathbb {N}$. Ця конструкція визначає цілі числа $\mathbb {Z}$.

Додатні раціональні числа

Для мультиплікативного комутативного моноїда $(\mathbb {N} ^{*},*)$ (натуральних чисел без нуля) група Гротендіка складається із формальних часток $p/q$ із відношенням еквівалентності:

$p/q\sim p'/q'\Leftrightarrow pq'r=p'qr$ для деякого $r\Leftrightarrow pq'=p'q$ .

Цю групу очевидно можна ідентифікувати із мультиплікативною групою додатних раціональних чисел.

Приклад моноїда без скорочень

У двох попередніх прикладах розглядалися моноїди із скороченнями. Для таких моноїдів відношення еквівалентності в означенні групи Гротендіка можна записати простіше: $(a,b)\sim (a',b')$ тоді і тільки тоді, коли $a+b'=a'+b.$ Навпаки коли у групі Гротендіка $(a,b)\sim (a',b')$ тоді і тільки тоді, коли $a+b'=a'+b$ то відповідний моноїд є моноїдом із скороченням (що відразу випливає із розгляду пар виду $(a,0)$).

Простим прикладом моноїда без скорочень є множина $M=\{0,1\}$ із операцією додавання заданою як $0+0=0$ і $0+1=1+0=1+1=1$. У цьому випадку на $M\times M$ маємо $(0,0)\sim (0,1)\sim (1,0)\sim (1,1)$ (якщо взяти $c=1$ в усіх випадках) і група Гротендіка є тривіальною. Проте якщо розглянути відношення $\equiv$ задане як

$(a,b)\equiv (a',b'),\$ якщо і тільки якщо $m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1}$

то $(0,1)\equiv (1,1),\ (1,0)\equiv (1,1)$ але $(0,1)\not \equiv (1,0),$ тому це відношення не є навіть транзитивним. Цей приклад показує необхідність додавання $c$ в побудові групи.

Група Гротендіка многовида

Конструкція групи Гротендіка активно використовується у K-теорії. Група $K_{0}(M)$ компактного многовида M за означенням є групою Гротендіка комутативного моноїда на класі ізоморфізмів векторних розшарувань скінченної розмірності на M де операцією є пряма сума розшарувань. Ці операції визначають контраваріантний функтор із категорії компактних многовидів у категорію абелевих груп.

Джерела

• Grothendieck group [Архівовано 14 травня 2011 у Wayback Machine.] на PlanetMath.
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3.