Векторне розшарування

Векторним розшаруванням називається певна геометрична конструкція, котра складається з сімейства векторних просторів, параметризованих іншим простором (наприклад, може бути топологічним простором, многовидом або алгебраїчною структурою): кожній точці простору зіставляється векторний простір так, що їхнє об'єднання утворює простір такого ж типу, як і (топологічний простір, многовид або алгебраїчну структуру тощо), зване простором векторного розшарування над .

Векторне розшарування є особливим типом локально тривіальних розшарувань, які в свою чергу є особливим типом розшарувань.

Зазвичай розглядають векторні простори над дійсними або комплексними числами. У такому випадку векторні розшарування називаються відповідно дійсними або комплексними. Комплексні векторні розшарування можна розглядати як дійсні з додатково введеною структурою.

ПрикладиРедагувати

ВизначенняРедагувати

Векторне розшарування — це локально тривіальне розшарування, у якого шар   є векторним простором, зі структурною групою оборотних лінійних перетворень  .

Пов'язані визначенняРедагувати

Підрозшаруванням   векторного розшарування   на топологічному просторі   називається така сукупність лінійних підпросторів  ,  , яка сама має структуру векторного розшарування.

МорфізмиРедагувати

Морфізм з векторного розшарування   у векторне розшарування   задається парою безперервних відображень   та  , таких що

  •  
  • для будь-якого  , відображення  , індуковане  , — лінійне відображення векторних просторів.

Зауважимо, що   визначається   (бо   — сюр'єкція), у такому випадку говорять, що   покриває  .

Клас всіх векторних розшарувань разом з морфізмами розшарувань утворює категорію. Обмежуючись векторними розшаруваннями, які є гладкими многовидами, і гладкими морфізмами розшарувань, ми отримаємо категорію гладких векторних розшарувань. Морфізми векторних розшарувань — окремий випадок відображення розшарувань між локально тривіальними розшаруваннями, їх часто називають гомоморфізмом (векторних) розшарувань.

Гомоморфізм розшарувань з   у  , разом із зворотним гомоморфізмом, називається ізоморфізмом (векторних) розшарувань. У такому разі розшарування   і   називають ізоморфними. Ізоморфізм векторного розшарування (рангу  )   над   на тривіальне розшарування (рангу   над  ) називається тривіалізацією  , при цьому   називають тривіальним (або трівіалізуємим). З визначення векторного розшарування видно, що будь-яке векторне розшарування локально тривіально.

Операції над розшаруваннямиРедагувати

Більшість операцій над векторними просторами можуть бути продовжені на векторні розшарування, виконуючись поточечно.

Наприклад, якщо   — векторне розшарування на  , то існує розшарування   на  , зване спряженим розшаруванням, шар якого в точці   — це спряжений векторний простір  . Формально   можна визначити як множину пар  , де   і  . Спряжене розшарування локально тривіально.

Існує багато функторіальних операцій, виконуваних над парами векторних просторів (над одним полем). Вони безпосередньо продовжуються на пари векторних розшарувань   на   (над заданим полем). Ось кілька прикладів.

  • Сума Вітні, або розшарування прямої суми   і   — це векторне розшарування   на  , шар якого в точці   є прямою сумою   векторних просторів   і  .
  • Розшарування тензорного добутку   визначається аналогічно, використовуючи поточечний тензорний добуток векторних просторів.
  • Розшарування гомоморфізмів (англ. hom-bundle)   — це векторне розшарування, шар якого в точці   — простір лінійних відображень з   в   (часто позначається   або  ). Це розшарування корисно, тому що існує бієкція між гомоморфізми векторних розшарувань з   в   на   і частинами   на  .

ПосиланняРедагувати

  • Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5.
  • Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5.