Векторне розшарування

Векторним розшаруванням називається певна геометрична конструкція, котра складається з сімейства векторних просторів, параметризованих іншим простором $X$ (наприклад, $X$ може бути топологічним простором, многовидом або алгебраїчною структурою): кожній точці $x$ простору $X$ зіставляється векторний простір $V_{x}$ так, що їхнє об'єднання утворює простір такого ж типу, як і $X$ (топологічний простір, многовид або алгебраїчну структуру тощо), зване простором векторного розшарування над $X$.

Векторне розшарування є особливим типом локально тривіальних розшарувань, які в свою чергу є особливим типом розшарувань.

Зазвичай розглядають векторні простори над дійсними або комплексними числами. У такому випадку векторні розшарування називаються відповідно дійсними або комплексними. Комплексні векторні розшарування можна розглядати як дійсні з додатково введеною структурою.

Приклади

• Найпростіший приклад — тривіальне розшарування, яке має вигляд прямого добутку $X\times V$, де $X$ — топологічний простір, база розшарування, а $V$ векторний простір.
• Складніший приклад — це дотичне розшарування гладкого многовиду: кожній точці на многовиді зіставляється дотичний простір до многовиду в цій точці. Дотичні розшарування в загальному випадку не тривіальні.

Визначення

Векторне розшарування — це локально тривіальне розшарування, у якого шар $V$ є векторним простором, зі структурною групою оборотних лінійних перетворень $V$.

Пов'язані визначення

Підрозшаруванням $U$ векторного розшарування $V$ на топологічному просторі $X$ називається така сукупність лінійних підпросторів $U_{x}\subset V_{x}$, $x\in X$, яка сама має структуру векторного розшарування.

Морфізми

Морфізм з векторного розшарування $\pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1}$ у векторне розшарування $\pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2}$ задається парою безперервних відображень $f\colon E_{1}\to E_{2}$ та $g\colon X_{1}\to X_{2}$, таких що

• $g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$
• для будь-якого $x\in X_{1}$, відображення $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$, індуковане $f$, — лінійне відображення векторних просторів.

Зауважимо, що $g$ визначається $f$ (бо $\pi _{1}$ — сюр'єкція), у такому випадку говорять, що $f$ покриває $g$.

Клас всіх векторних розшарувань разом з морфізмами розшарувань утворює категорію. Обмежуючись векторними розшаруваннями, які є гладкими многовидами, і гладкими морфізмами розшарувань, ми отримаємо категорію гладких векторних розшарувань. Морфізми векторних розшарувань — окремий випадок відображення розшарувань між локально тривіальними розшаруваннями, їх часто називають гомоморфізмом (векторних) розшарувань.

Гомоморфізм розшарувань з $E_{1}$ у $E_{2}$, разом із зворотним гомоморфізмом, називається ізоморфізмом (векторних) розшарувань. У такому разі розшарування $E_{1}$ і $E_{2}$ називають ізоморфними. Ізоморфізм векторного розшарування (рангу $k$) $E$ над $X$ на тривіальне розшарування (рангу $k$ над $X$) називається тривіалізацією $E$, при цьому $E$ називають тривіальним (або трівіалізуємим). З визначення векторного розшарування видно, що будь-яке векторне розшарування локально тривіально.

Операції над розшаруваннями

Більшість операцій над векторними просторами можуть бути продовжені на векторні розшарування, виконуючись поточечно.

Наприклад, якщо $E$ — векторне розшарування на $X$, то існує розшарування $E^{*}$ на $X$, зване спряженим розшаруванням, шар якого в точці $x\in X$ — це спряжений векторний простір $(E_{x})^{*}$. Формально $(E_{x})^{*}$ можна визначити як множину пар $(x,\varphi )$, де $x\in X$ і $\varphi \in E_{x}^{*}$. Спряжене розшарування локально тривіально.

Існує багато функторіальних операцій, виконуваних над парами векторних просторів (над одним полем). Вони безпосередньо продовжуються на пари векторних розшарувань $E,F$ на $X$ (над заданим полем). Ось кілька прикладів.

• Сума Вітні, або розшарування прямої суми $E$ і $F$ — це векторне розшарування $E\oplus F$ на $X$, шар якого в точці $x$ є прямою сумою $E_{x}\oplus F_{x}$ векторних просторів $E_{x}$ і $F_{x}$.
• Розшарування тензорного добутку $E\otimes F$ визначається аналогічно, використовуючи поточечний тензорний добуток векторних просторів.
• Розшарування гомоморфізмів (англ. hom-bundle) $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ — це векторне розшарування, шар якого в точці $x$ — простір лінійних відображень з $E_{x}$ в $F_{x}$ (часто позначається $\operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})$ або $L(E_{x},F_{x})$). Це розшарування корисно, тому що існує бієкція між гомоморфізми векторних розшарувань з $E$ в $F$ на $X$ і частинами $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ на $X$.

Посилання

• Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlinб ISBN 3-540-42627-2 — See section 1.5.
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб ISBN 0-8053-0102-X — See section 1.5.