Локально тривіальне розшарування

Локально тривіальне розшаруваннярозшарування, яке локально має вигляд прямого добутку.

ВизначенняРедагувати

Нехай  ,   і   є топологічними просторами. Сюр'єктивне відображення   називається локально тривіальним розшаруванням простору   над базою   з шаром  , якщо для всякої точки бази   існує окіл  , над яким розшарування є тривіальним. Останнє означає, що існує гомеоморфізм  , такий що комутативна діаграма

 .

Тут   — проекція добутку просторів на перший співмножник.

Простір   також називається тотальним простором розшарування або розшарованим простором.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Перетин розшарування — це відображення  , таке що  . Взагалі кажучи, не кожне розшарування має перетин. Наприклад, нехай   — многовид, а   підрозшарування векторів одиничної довжини в дотичному розшаруванні  . Тоді перетин розшарування   — це векторне поле без нулів на  . Теорема про причісуванні їжака показує, що на сфері такого поля не існує.
  • Множина   називається шаром розшарування   над точкою  . Кожен шар гомеоморфний простору  , Тому простір   називається загальним (або модельним) шаром розшарування  .
  • Гомеоморфізм  , що ототожнює обмеження розшарування   над околом точки   з деяким тривіальним розшаруванням, називається локальною тривіалізацією розшарування   над околом точки  .
  • Якщо   — покриття бази   відкритими множинами, і   — відповідні їм відображення тривіалізації, тоді сімейство   називається трівіалізуючим атласом розшарування  .
  • Припустимо локально тривіальне розшарування   забезпечено покриттям   бази   з виділеною тривіалізацією   і звуження будь-якого відображення звірення   на шар належить деякій підгрупі   групи всіх автоморфізмів  . Тоді   називається локально тривіальним розшаруванням зі структурною групою  .

ПрикладиРедагувати

  • Тривіальне розшарування, тобто проекція   на перший співмножник.
  • Будь-яке накриття є локально тривіальним розшаруванням з дискретним шаром.
  • Дотичне, кодотичне і тензорні розшарування над довільним многовидом локально тривіальні.
  • Якщо на просторі   задано неперервна вільна дія групи  , то природне відображення   є локально тривіальним розшаруванням. Розшарування такого типу називаються головними.
  • Лист Мебіуса — простір нетривіального розшарування над колом.
  • Розшарування Хопфа — це нетривіальне розшарування  . Воно не має перетинів, бо воно є головним розшаруванням зі структурною групою  , А будь-яке головне розшарування, що допускає перетин, тривіально.
  • Сконструювати розшарування можна, задавши довільно його базу (простір  ), загальний шар (простір  ) і відображення переходу (1-коцикл Чеха  ) для якого-небудь відкритого покриття простору  . Тоді простір   формально можна отримати як множину трійок вигляду   з правилом ототожнення:
 , якщо  

ВластивостіРедагувати

  • Для локально тривіальних розшарувань вірна теорема про накриваючу гомотопію. Нехай задані   — локально тривіальне розшарування, відображення   і  , так що  , і гомотопії   відображення   ( ). Тоді існує гомотопія   відображення  , така що діаграма комутативна
 
  • Нехай є локально тривіальне розшарування   з шаром   (іноді записуване формально як  ). Тоді послідовність гомотопічних груп точна:
 
  • Відображення переходу задовольняють умові 1-коцикла Чеха:
Якщо  , то  .
  • Два розшарування над однією і тією ж базою і з одним і тим же загальним шаром ізоморфні тоді і тільки тоді, коли 1-коцикли Чеха, відповідні їм, когомологічні. (Зазначимо, що в разі, коли група   некомутативна, одномірні когомології   не утворюють групу, а утворюють множину, на якій діє (ліворуч) група 0-коланцюгів Чеха  :
     ,
де   — 0-коланцюг Чеха, що діє на 1-коцикл Чеха  . 1-коцикли називаються когомологічними, якщо вони лежать в одній орбіті цієї дії).
  • Для будь-якого локально тривіального розшарування   і безперервного відображення   індуковане розшарування   є локально тривіальним.

Варіації і узагальненняРедагувати

  • Локально тривіальні розшарування є окремим випадком
  • Якщо простори  гладкі (диференційовні) многовиди, відображення   — гладке і допускає тривіалізуючий атлас з гладкими відображеннями тривіалізації, то само розшарування називається гладким розшаруванням.
  • Розшарування називається голоморфним, якщо простори  комплексні многовиди, відображення   — голоморфне і існує трівіалізуючий атлас з голоморфними відображеннями тривіалізації.
  • Головне розшарування

Дивись такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7