Локально тривіальне розшарування

Локально тривіальне розшарування — розшарування, яке локально має вигляд прямого добутку.

Визначення

Нехай $E$, $B$ і $F$ є топологічними просторами. Сюр'єктивне відображення $\pi \colon E\to B$ називається локально тривіальним розшаруванням простору $E$ над базою $B$ з шаром $F$, якщо для всякої точки бази $x\in B$ існує окіл $U\subset B$, над яким розшарування є тривіальним. Останнє означає, що існує гомеоморфізм $\phi \colon \pi ^{-1}(U)\to U\times F$, такий що комутативна діаграма

.

Тут $\mathrm {proj_{1}} :\,U\times F\to U$ — проєкція добутку просторів на перший співмножник.

Простір $E$ також називається тотальним простором розшарування або розшарованим простором.

Пов'язані визначення

• Перетин розшарування — це відображення $s:B\to E$, таке що $\pi \circ s=\mathrm {id} _{B}$. Взагалі кажучи, не кожне розшарування має перетин. Наприклад, нехай $M$ — многовид, а $E\to M$ підрозшарування векторів одиничної довжини в дотичному розшаруванні $TM$. Тоді перетин розшарування $E$ — це векторне поле без нулів на $M$. Теорема про причісуванні їжака показує, що на сфері такого поля не існує.
• Множина $F_{x}=\pi ^{-1}\{x\}$ називається шаром розшарування $\pi$ над точкою $x\in B$. Кожен шар гомеоморфний простору $F$, Тому простір $F$ називається загальним (або модельним) шаром розшарування $\pi$.
• Гомеоморфізм $\varphi$, що ототожнює обмеження розшарування $\pi$ над околом точки $x$ з деяким тривіальним розшаруванням, називається локальною тривіалізацією розшарування $\pi$ над околом точки $x$.
• Якщо $\{U_{\alpha }\}$ — покриття бази $B$ відкритими множинами, і $\varphi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F$ — відповідні їм відображення тривіалізації, тоді сімейство $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}$ називається трівіалізуючим атласом розшарування $\pi :E\to B$.
• Припустимо локально тривіальне розшарування $\pi :E\to B$ забезпечено покриттям $\{U_{\alpha }\}$ бази $B$ з виділеною тривіалізацією $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{-1}(U_{\alpha })$ і звуження будь-якого відображення звірення $\phi _{\alpha }^{-1}\circ \phi _{\beta }$ на шар належить деякій підгрупі $G$ групи всіх автоморфізмів $F$. Тоді $\pi$ називається локально тривіальним розшаруванням зі структурною групою $G$.

Приклади

• Тривіальне розшарування, тобто проєкція $B\times F\to B$ на перший співмножник.
• Будь-яке накриття є локально тривіальним розшаруванням з дискретним шаром.
• Дотичне, кодотичне і тензорні розшарування над довільним многовидом локально тривіальні.
• Якщо на просторі $E$ задано неперервна вільна дія групи $G$, то природне відображення $E\to E/G$ є локально тривіальним розшаруванням. Розшарування такого типу називаються головними.
• Лист Мебіуса — простір нетривіального розшарування над колом.
• Розшарування Хопфа — це нетривіальне розшарування $S^{3}\to S^{2}=S^{3}/S^{1}$. Воно не має перетинів, бо воно є головним розшаруванням зі структурною групою $U(1)$, А будь-яке головне розшарування, що допускає перетин, тривіально.
• Сконструювати розшарування можна, задавши довільно його базу (простір $B$), загальний шар (простір $F$) і відображення переходу (1-коцикл Чеха $\{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}$) для якого-небудь відкритого покриття простору $B$. Тоді простір $E$ формально можна отримати як множину трійок вигляду $\{(\alpha ,x,f_{\alpha }):\,x\in U_{\alpha },\,f_{\alpha }\in F\}$ з правилом ототожнення:

$(\alpha ,x,f_{\alpha })=(\beta ,x,f_{\beta })$, якщо $f_{\beta }=u_{\beta \alpha }f_{\alpha }$

Властивості

• Для локально тривіальних розшарувань вірна теорема про накриваючу гомотопію. Нехай задані $\pi :E\to B$ — локально тривіальне розшарування, відображення $f\colon M\to B$ і $g\colon M\to E$, так що $f=\pi \circ g$, і гомотопії ${\tilde {g}}\colon M\times [0;1]\to B$ відображення $g$ (${\tilde {g}}(m,0)=g(m)$). Тоді існує гомотопія ${\tilde {f}}\colon M\times [0;1]\to E$ відображення $f$, така що діаграма комутативна

${\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde {g}}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}$

• Нехай є локально тривіальне розшарування $E\to B$ з шаром $F$ (іноді записуване формально як $F\to E\to B$). Тоді послідовність гомотопічних груп точна:

$\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)$

• Відображення переходу задовольняють умові 1-коцикла Чеха:

Якщо $x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$, то $u_{\beta \alpha }(x)=u_{\beta \gamma }(x)\circ u_{\gamma \alpha }(x)$.

• Два розшарування над однією і тією ж базою і з одним і тим же загальним шаром ізоморфні тоді і тільки тоді, коли 1-коцикли Чеха, відповідні їм, когомологічні. (Зазначимо, що в разі, коли група $\mathrm {Aut} \,F$ некомутативна, одномірні когомології $H^{1}(B,\mathrm {Aut} \,F)$ не утворюють групу, а утворюють множину, на якій діє (ліворуч) група 0-коланцюгів Чеха $C^{0}(B,\mathrm {Aut} \,F)$:

  $u_{\alpha \beta }'(x)=f_{\alpha }(x)\circ u_{\alpha \beta }(x)\circ f_{\beta }(x)^{-1}$,

де $\{f_{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}$ — 0-коланцюг Чеха, що діє на 1-коцикл Чеха $\{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm {Aut} \,F\}$. 1-коцикли називаються когомологічними, якщо вони лежать в одній орбіті цієї дії).

• Для будь-якого локально тривіального розшарування $\pi :X\to B$ і безперервного відображення $f:B'\to B$ індуковане розшарування $f^{*}(\pi )$ є локально тривіальним.

Варіації і узагальнення

• Локально тривіальні розшарування є окремим випадком
  • розшарувань Гуревича і
  • розшарувань Серра.
• Якщо простори $E,B,F$ — гладкі (диференційовні) многовиди, відображення $\pi$ — гладке і допускає тривіалізуючий атлас з гладкими відображеннями тривіалізації, то само розшарування називається гладким розшаруванням.
• Розшарування називається голоморфним, якщо простори $E,B,F$ — комплексні многовиди, відображення $\pi$ — голоморфне і існує трівіалізуючий атлас з голоморфними відображеннями тривіалізації.
• Головне розшарування

Дивись також

• Теорія Янга—Міллса

Література

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7