Дотичне розшарування

Дотичне розшарування гладкого многовиду — це векторне розшарування над , шар якого в точці є дотичним простором в точці . Дотичне розшарування зазвичай позначається .

Неформально, дотичне розшарування многовиду (в даному випадку кола) виходить при розгляді всіх дотичних просторів (зверху) і об'єднання їх гладко без перетинів (знизу)

Елемент тотального простору — це пара , де і . Дотичне розшарування має природну топологією (не топологією диз'юнктивного об'єднання) і гладку структуру, що перетворюють його на многовид. Розмірність дорівнює подвоєній розмірності .

Топологія і гладка структураРедагувати

Якщо   -мірний многовид, то він має атласом карт  , де   — відкрита підмножина   і

 

гомеоморфізм.

Ці локальні координати на   породжують ізоморфізм між   і   для будь-якого  . Можна визначити відображення

 

як

 

Ці відображення використовуються для визначення топології і гладкої структури на  .

Підмножина   з   відкрита тоді і тільки тоді, коли   — відкрите в   для будь-якого  . Ці відображення — гомеоморфізми відкритих підмножин   і  , тому вони утворюють карти гладкої структури на  . Функції переходу на перетинах карт   задаються матрицями Якобі відповідних перетворень координат, тому вони є гладкими відображеннями відкритих підмножин  .

Дотичне розшарування — окремий випадок більш загальної конструкції, званої векторним розшаруванням. Дотичне розшарування  -мірного многовиду   можна визначити як векторне розшарування рангу   над  , функції переходу для якого задаються якобіаном відповідних перетворень координат.

ПрикладиРедагувати

  • Найпростіший приклад отримуємо для  . У цьому випадку дотичне розшарування тривіально і ізоморфно проекції  .
  • Одинична окружність  . Її дотичне розшарування також тривіально і ізоморфно  . Геометрично, воно є циліндром нескінченної висоти (дивись картинку вгорі).
  • Простий приклад нетривіального дотичного розшарування отримуємо на одиничній сфері  , це дотичне розшарування нетривіально внаслідок теореми про причісуванні їжака.
  • На жаль зобразити можна тільки дотичні розшарування дійсної прямої   і одиничної окружності  , які обидва є тривіальними. Для двовимірних многовидів дотичне розшарування — це 4-вимірний многовид, тому його складно уявити.

Векторні поляРедагувати

Векторне поле — це гладка векторна функція на многовиді  , значення якої в кожній точці — вектор, дотичний до  , тобто гладке відображення

 

таке, що образ  , що позначається  , лежить у   — дотичному просторі в точці  . Мовою локально тривіальних розшарувань, таке відображення називається перетином. Векторне поле на   — це перетин дотичного розшарування над  .

Множина всіх векторних полів над   позначається  . Векторні поля можна складати поточечно:

 

і множити на гладкі функції на  

 ,

отримуючи нові векторні поля. Множина всіх векторних полів   отримує при цьому структуру модуля над комутативною алгеброю гладких функцій на   (позначається  ).

Якщо   є гладкою функцією, то операція диференціювання вздовж векторного поля   дає нову гладку функцію  . Цей оператор диференціювання має такі властивості:

  • Адитивність:  
  • Правило Лейбніца:  

Векторне поле на многовиді можна також визначити як оператор, котрий володіє перерахованими вище властивостями.

Локальне векторне поле на   — це локальний перетин дотичного розшарування. Локальне векторне поле визначається тільки на якійсь відкритій підмножині   з  , при цьому в кожній точці з   задається вектор з відповідного дотичного простору. Множина локальних векторних полів на   утворює структуру, що називається пучком дійсних векторних просторів над  .

Канонічне векторне поле на TMРедагувати

На кожному дотичному розшаруванні   можна визначити канонічне векторне поле. Якщо   — локальні координати на  , то векторне поле має вигляд

 

  є відображенням  .

Існування такого векторного поля на   можна порівняти з існуванням канонічної 1-форми на кодотичному розшаруванні.

ПосиланняРедагувати

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — Москва : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — Москва : ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York : Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
  • Todd Rowland Tangent Bundle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Tangent Bundle на PlanetMath.(англ.)