Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом.

Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком ).

ВизначенняРедагувати

Зовнішня алгебра векторного простору   над полем  , це асоціативна алгебра над  , для якої виконується:

 
 
 

Зовнішня алгебра позначається як   і не залежить від вибору базиса.

Зв'язані визначенняРедагувати

  • Для   підпростір  , з елементів виду  , називається  -им зовнішнім ступенем простору  .
  • Простір   є прямою сумою підпросторів виду  :
 

ВластивостіРедагувати

 

ПрикладиРедагувати

 
.

Якщо є декартова площина   з ортонормованим базисом:  

Нехай

 

Тоді площа паралелограма основаного на векторах  :

 
 

Для двох векторів   і   їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:

 

Величина (1) називається також бівектором.

Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю   мінорів наступної прямокутної   матриці:

 

Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів  , скільки є співмножників):

 

Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю   мінорів прямокутної   матриці:

 

Основні властивості зовнішнього добуткуРедагувати

Із властивостей визначників матриць можна зробити такі висновки:

Зовнішній добуток змінює знак на протилежний при перестановці будь-яких двох векторних співмножників:

 

Зовнішній добуток лінійний окремо за кожним із співмножників:

 

Зовнішній добуток дорівнює нулю, якщо його співмножники лінійно залежні:

 

зокрема якщо кількість співмножників більша за розмірність векторного простору  , або якщо два будь-які співмножники збігаються:

 

Групування множників мультивектораРедагувати

Розглянемо цю властивість на прикладі тривектора  . Із перших двох множників складаємо бівектор:

 

тоді компоненти тривектора запишуться так:

 
 

Отже зовнішній добуток бівектора на вектор визначається формулою:

 

Більш загально, розклад визначника по першому рядку дає формулу зовнішнього добутку вектора   на мультивектор  :

 

У кожному доданку суми у формулі (9) індекси мультивектора   є вибіркою   індекса з набору   (за винятком того індекса, що стоїть біля вектора  ).

Якщо число   непарне, то внаслідок антисиметрії тензора   формулу (9) можна записати ще так:

 

де квадратними дужками позначено суму по циклічних перестановках індексів   (порівняйте з формулою (8)).

Також відмітимо зовнішній добуток двох бівекторів (викладки щодо розкриття визначника четвертого порядку пропускаємо):

 

Взагалі, якщо ми маємо зовнішній добуток   мультивекторів   рангів   відповідно, то кількість доданків у формулі, що виражає компоненти зовнішнього добутку через компоненти співмножників, дорівнює:

 

Мультивектор як орієнтована -вимірна площадкаРедагувати

Хай ми маємо наступний мультивектор, складений із векторів  :

 

Цей мультивектор ненульовий тільки тоді, коли вектори   лінійно незалежні, тобто вони визначають  -вимірний лінійний підпростір. Складемо з цих векторів   лінійних комбінацій:

 

і утворимо новий мультивектор із їхнього зовнішнього добутку:

 

В останній сумі відмінні від нуля лише ті доданки, в яких всі індекси   різні, тобто є перестановкою чисел  . Більше того, з точністю до знаку всі зовнішні добутки в правій частині формули (14) рівні величині:

 

а знак дорівнює  , коли   є парною перестановкою чисел  , і дорівнює   для непарних перестановок. Тому маємо:

 

Як бачимо, новий мультивектор   пропорційний мультивектору  . Він буде дорівнювати старому мультивектору, якщо:

 

Отже компоненти мультивектора   не привязані до фіксованого набору векторів, але тільки до орієнтованого  -вимірного підпростору, що проведений через ці вектори і скаляра - числа яке є нормою або величною мультивектора.

Підрахунок кількості параметрівРедагувати

Довільний антисиметричний тензор  -рангу   має таку кількість незалежних компонент:

 

Дійсно, для кожної виборки   індексів   із   чисел   ми можемо розмістити ці індекси в порядку зростання  , і приписати довільне значення компоненті тензора  . Значення компоненти тензора з цими ж індексами, але розміщеними в іншому порядку (переставленими індексами) легко обчислюється виходячи з властивості антисиметрії.

Тепер розглянемо мультивектор   рангу  . Його компоненти обчислюються за формулою (2) через   чисел - координат векторів  . Але оскільки ці вектори задаються неоднозначно, але з точністю до лінійної підстановки (13), то від добутку   треба відняти число   - кількість коефіцієнтів матриці переходу  . І додати число 1, оскільки коефіцієнти матриці переходу зв'язані одним скалярним рівнянням (16). Таким чином, мультивектор   залежить від такої кількості параметрів:

 

Відмітимо, що результат формул (17) і (18) не зміниться, якщо замінити   на  . Це наслідок існування дуальних об'єктів для антисиметричного тензора і для мультивектора.

Формули (17) і (18) дають однаковий результат для таких чотирьох значень рангу  : скалярів ( ), векторів ( ), псевдовекторів ( ) і псевдоскалярів ( ). Покажемо, що для всіх інших значень   (звісно при  ) кількість мультивекторів менша за кількість всіх антисиметричних тензорів (тобто існують тензори, що не є орієнтованими площадками). Для доведення скористаємося відомою комбінаторною рівністю:

 

Послідовно застосовуючи її, знаходимо для формули (17):

 

Позначимо  , і знаходимо різницю:

 

Перший доданок у формулі (21) дорівнює нулю (при  ), але в цій формулі наявні і інші доданки, оскільки  . Усі ці інші доданки строго додатні, бо із (19) слідує нерівність:

 

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторівРедагувати

Нехай ми маємо довільний антисиметричний тензор   рангу  .

Розглянемо сукупність базисних векторів (індекси в дужках вгорі нумерують ці вектори, і не є координатами):

 

або в координатах:

 

З цих векторів утворимо сукупність мультивекторів рангу  :

 

Кожен мультивектор (24) має відмінну від нуля тільки одну (з точністю до перестановок індексів) компоненту:

 

Тому тензор   можна записати у вигляді суми:

 

Це представлення, разом із лінійністю зовнішнього добутку, дає змогу поширити зовнішній добуток на довільні антисиметричні тензори. Формули (8 - 10) і їм подібні залишаються справедливими і в випадку, коли ми вважаємо   довільними антисиметричними тензорами.

Метричні властивості зовнішнього добуткуРедагувати

Нехай у векторному просторі задано метричний тензор  . Ми можемо розглядати довжини векторів і кути між ними, піднімати і опускати індекси тензорів.

Піднесемо до квадрата бівектор  :

 
 

Визначник Грамма двох векторів дорівнює квадрату площі   паралелограма, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

 

Відмітимо формулу:

 

Тепер піднесемо до квадрата тривектор  .

 
 

Визначник Грамма трьох векторів дорівнює квадрату об'єму   паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

 

Узагальнення формули (30) на мультивектори більшого рангу очевидне. Норма зовнішнього добутку   векторів дорівнює  -мірному об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Мультивектор можна уявляти у вигляді орієнтованої  -мірної площадки довільної форми, "площа" якої дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на векторах-множниках мультивектора.

Згортка мультивектора з векторомРедагувати

Розглянемо спочатку згортку тривектора   з контраваріантним вектором  . Результат згортки буде деякий тензор   другого рангу:

 

Очевидно, що цей тензор антисиметричний. Доведемо, що він є бівектором, тобто знайдуться такі вектори   що  . Внаслідок лінійності визначника по останньому рядку маємо:

 

Якщо вектор   ортогональний до тривектора, тобто до кожного з векторів  , то останній рядок в матриці формули (32) буде нульовим, і згортка тривектора з вектором буде дорівнювати нулю.

Тепер нехай вектор   буде не ортогональний до одного з векторів тривектора, наприклад  . Ми можемо у визначнику в правій частині формули (32) відняти від першого і другого рядків третій рядок з таким коефіцієнтом, щоб перетворити число з третьої колонки в нуль:

 
 

Ми можемо внести множник всередину визначника, наприклад помноживши на перший стовпчик. Ми можемо взяти такі два вектора:

 

через зовнішній добуток яких виражається наш результат згортки тривектора з вектором:

 

Аналогічні викладки дають, що згортка будь-якого мультивектора з вектором є мультивектором на одиницю меншого рангу.

Внутрішній добуток мультивекторівРедагувати

Позначимо операцію згортки мультивектора з вектором крапкою, такою самою як і в позначенні скалярного добутку векторів:

 
 

і назвемо її внутрішнім добутком мультивектора на вектор.

Дослідимо властивості внутрішнього добутку. Якщо вектор   ортогональний до підпростору, в якому лежить мультивектор  , то результатом внутрішнього добутку буде нуль. В іншому разі (неортогональності) результат є мультивектором  , який повністю лежить у підпросторі мультивектора   (оскільки кожен з векторів у формулі (34) лежить в  ). Спробуємо ще раз внутрішньо перемножити результат на той самий вектор  :

 

Ми одержуємо нуль внаслідок антисиметричності мультивектора по індексах  .

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторіРедагувати

Розглянемо згортку бівектора з вектором:

 

а також властивість зовнішнього добутку трьох векторів:

 

Порівняємо з наступними формулами векторного добутку трьохмірних векторів:

 
 

Ми бачимо, що формули (40) і (41) аналогічні формулам (38) і (39), але якби переставлені. Ця переставленість виникає тому, що векторний добуток є дуальним тензором до бівектора:

 

де   є одиничним антисиметричним тензором тривимірного простору.