Мінором -го порядку матриці називається визначник матриці, утвореної елементами на перетині стовпців та рядків.

Формальне означенняРедагувати

Нехай  матриця розміру  , в якій вибрано довільні    

  • рядків з номерами   та
  • стовпців з номерами  

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку  .

Визначник матриці, яка одержується з   викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором  -го порядку, розташованим в рядках з номерами   та стовпцях з номерами  .

 

Якщо  є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці  називається доповнювальним мінором до мінору  

 
де   та   — номери не вибраних рядків і стовпців.

Пов'язані означенняРедагувати

  • Мінором   елемента   квадратної матриці   порядку   називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника   n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент  
  • Нехай   — деякий мінор порядку   матриці  . Мінор порядку   матриці називається оточуючим для мінора  , якщо його матриця містить в собі матрицю мінору  . Таким чином, оточуючий мінор для мінора   можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.
  • Базисним мінором ненульової матриці   (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
  • Для  -матриці   мінори виду  , де  і   називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.

ПрикладиРедагувати

  • Розглянемо матрицю   розміру  :
  — мінор 2-го порядку.
Загалом для цієї матриці є   мінорів другого порядку.
  • Мінор   квадратної матриці   — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
     

ВластивостіРедагувати

  • Для матриці   розміру   існує   різних мінорів порядку  , де  .
 
де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців   Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати   стовпців з  , тобто біноміальному коефіцієнту  .
Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.
  1. Рядки ненульової матриці   на яких будується її базисний мінор   є лінійно незалежними.
  2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
  • Нехай   є матрицею розміру  ,   є матрицею розміру   і   є їх добутком. Позначатимемо   мінори відповідних матриць. Тоді для мінора   де   і   є номерами рядків, а   — номерами стовпців, якщо   то   В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць   і   за допомогою формули:
     
    Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.
  • Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць   і   є однаково.
  • Характеристичний многочлен   квадратної матриці   можна записати як  , де   позначає суму головних мінорів порядку   матриці   Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати