Відкрити головне меню

Мінором -го порядку матриці називається визначник матриці, утворений елементами на перетині стовпців та рядків.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Нехай  матриця розміру  , в якій вибрано довільні    

  • рядків з номерами   та
  • стовпців з номерами  

Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку  .

МінорРедагувати

Визначник матриці, яка одержується з   викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором  -го порядку, розташованим в рядках з номерами   та стовпцях з номерами  .

 

Доповнювальний мінорРедагувати

Визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці   у випадку коли отримана матриця буде квадратною, називається доповнювальним мінором до мінору  

 
де   та   — номери не вибраних рядків і стовпців.

Мінор елементаРедагувати

Мінором   елемента   квадратної матриці   порядку   називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника   n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент  

Оточуючий мінорРедагувати

Нехай   — деякий мінор порядку   матриці  . Мінор порядку   матриці називається оточуючим для мінора  , якщо його матриця містить в собі матрицю мінору  . Таким чином, оточуючий мінор для мінора   можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.

Базисний мінорРедагувати

Базисним мінором ненульової матриці   (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує.

Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого.

Зауваження. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів.

Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.

Теорема ЛапласаРедагувати

Нехай  квадратна матриця розміру   в якій вибрано довільні   рядків.

Тоді визначник матриці   рівний сумі всіляких добутків мінорів  -го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

 
де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців  

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати   стовпців з  , тобто біноміальному коефіцієнту  .

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Теорема про базисний мінорРедагувати

  1. Рядки ненульової матриці   на яких будується її базисний мінор   є лінійно незалежними.
  2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

ПрикладиРедагувати

  • Розглянемо матрицю   розміру  :
  — мінор 2-го порядку.
Таких мінорів можна скласти   штук.
  • Мінор   квадратної матриці   — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
     


Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати