Відкрити головне меню

Полівектор

(Перенаправлено з Бівектор)

Мультивектор, р-вектор, векторного простору  — елемент деякого зовнішнього ступеня простору над полем . p-вектор може розумітися як кососиметризований р раз контраваріантний тензор на .

2-вектор також називають бівектором, а 3-вектор - тривектором. p-вектор дуален до p-форми. Бівектори пов'язані з псевдовекторами та використовуються для представлення обертання.

Неоднозначність представлення бівектора векторамиРедагувати

Розглянемо дві лінійні комбінації векторів   і  :

 

Користуючись спочатку лінійністю зовнішнього добутку щодо кожного із аргументів, а потім антисиметричністю, знаходимо:

 

Коефіцієнт в правій частині формули (8) є визначником матриці трансформації:

 

Якщо цей визначник дорівнює одиниці (наприклад матриця трансформації є поворотом в площині  ), то бівектор виражається через нові вектори   і   так само, як і через старі (порівняйте з формулою (3)):

 

Паралельність вектора до бівектораРедагувати

Нехай ми маємо вектор   і бівектор  . Розглянемо тривектор, утворений зовнішнім добутком цих величин:

 
 
 

Якщо вектор   буде лінійною комбінацією векторів   і  , то визначник у формулі (11) перетвориться в нуль, і для цього випадку маємо:

 

Алгебраїчна залежність компонент бівектораРедагувати

Оскільки вектори   і   лежать у площині бівектора  , то для них справедлива формула (12), тому для будь-яких індексів   знаходимо:

 
 

Отже бівектор виділяється із множини всіх антисиметричних тензорів тим, що компоненти бівектора алгебраїчно залежні:

 

(Примітка: формула (14) має деяку схожість з алгебраїчною тотожністю Біанкі для тензора Рімана, і це не випадково)

Ми бачили, що для бівектора виконується рівність (14). Покажемо що навпаки, якщо для деякого антисиметричного тензора виконується рівність (14) то цей тензор буде бівектором, тобто можна за цим тензором побудувати такі два вектори   і  , що виконується рівність (1).

Нехай тензор   ненульовий, тобто не всі компоненти цього тензора дорівнюють нулю. Нехай для деяких фіксованих індексів   маємо  . Тоді із формули (14) одержуємо для всіх індексів  :

 

В даній системі координат ми можемо наприклад взяти такі два вектора (числа   фіксовані):

 

Очевидно, що тоді формула (1) виконується.

Підрахунок кількості параметрів бівектораРедагувати

Антисиметричний тензор другого рангу має   алгебраїчно незалежних компонент.

Бівектор за формулою (1) виражається через   чисел  , але оскільки є деяка довільність у виборі векторів   і   (формула 8) і ми можемо в рівності

 

три параметри обрати довільно, то бівектор має   алгебраїчно незалежних параметра.

Знайдемо «надлишкову» кількість параметрів, якою антисиметричний тензор відрізняється від бівектора:

 

З цієї формули ми бачимо, що для дво- і тривимірного простору надлишок дорівнює нулю (тобто кожен антисиметричний тензор є бівектором), для 4-вимірного простору цей надлишок задається одним параметром, для вищих розмірностей цих надлишкових параметрів досить багато.

Представлення антисиметричного тензора бівектором в розмірностях 2 і 3Редагувати

Якщо розмірність простору менша чотирьох, то у формулі (14) щонайменше два індекси з чотирьох збігаються. Перебором варіантів можна пересвідчитись, що тоді обов'язково один із трьох доданків в (14) дорівнює нулю (бо  ), а два інші рівні за величиною і протилежні за знаком. Тобто рівність (14) виконується завжди для будь-якого антисиметричного тензора. Формула (16) дає обчислення таких векторів   і  , що виконується рівність (1).

Норма (величина) бівектораРедагувати

Далі в цій статті ми будемо припускати існування евклідової метрики, щоб можна було говорити про величини векторів, бівекторів і про кути між ними. Використовуючи метричний тензор, ми можемо піднімати і опускати індекси тензорів. Розглянемо скаляр, який утворюється множенням бівектора на себе з наступною згорткою за відповідними індексами. У наступних формулах ми будемо користуватися правилом Ейнштейна, що у кожному виразі де зустрічаються однакові індекси, за ними відбувається додавання:

 
 

У дужках останнього виразу стоїть площа паралелограма, побудованого на векторах   і  . Ця площа і називається нормою бівектора.

 

Бівектор як лінійний операторРедагувати

Розглянемо згортку бівектора з довільним вектором  :

 

В результаті цієї операції ми маємо вектор  , що є лінійною комбінацією векторів   і  , тобто лежить в площині  . Якщо вектор   ортогональний до площини  , то в результаті одержимо нуль. Якщо вектор   лежить у площині  , наприклад  , то одержимо ненульовий вектор площини повернутий на  , і розтягнутий в   разів:

 
 

тобто дію бівектора на вектор можна розкласти на три етапи: проекцію вектора на площину, розтягнення, і поворот в площині на кут  .

ЛітератураРедагувати