Відкрити головне меню

Компактний простір

(Перенаправлено з Компактна множина)

Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.

В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.

В математичному аналізі компактна множина - це обмежена й замкнута множина в .

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Підмножина топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називається компактною множиною або компактом.
  • Множина називається відносно компактною чи предкомпактною, якщо її замикання компактне.
  • Локально компактний простір — топологічний простір, в якому будь-яка точка має окіл, замикання якого компактне.
  • Секвенційно компактний простір — топологічний простір, у якому з кожної послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
  • Зліченно компактний простір — топологічний простір, із кожного зліченного покриття якого можна виділити скінченне підпокриття.
  • Слабко зліченно компактний простір — має таку властивість, що кожна нескінченна підмножина має граничну точку.

ВластивостіРедагувати

Загальні властивостіРедагувати

Властивості компактних метричних просторівРедагувати

Приклади компактних множинРедагувати

  • в будь-якому топологічному просторі множина, що скаладається з однієї точки завжди компактна.
  • замкнуті і обмежені множини в  
  • скінченні підмножини в просторах, що задовольняють аксіомі віддільності  
  • теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір   дійсних функцій на метричному компактному просторі   з нормою  . Тоді замикання множини функцій   в   компактно тоді і тільки тоді, коли   рівномірно обмежена і рівностепенево неперервна.
  • простір Стоуна булевої алгебри
  • компактифікація топологічного простору
  • Компактні групи Лі

ІсторіяРедагувати

Бікомпактний простір — термін, введений П.С.Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченому відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіший за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають злічено-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
  • Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.