Лема Лебега у теорії метричних просторів стверджує, що для будь-якого відкритого покриття компактного метричного простору існує число таке, що будь-яка підмножина діаметра в міститься хоча б в одному елементі покриття .

Таке число називається числом Лебега покриття .

Для некомпактних метричних просторів це твердження не є вірним, можливо навіть побудувати двоелементне покриття дійсної прямої, для якого немає жодного числа Лебега.

Доведення

ред.

Нехай  відкрите покриття простору  . Оскільки   є компактним простором можна вважати покриття скінченним з елементами  . Якщо якась із множин   є рівною   то будь-яке число   буде числом Лебега. В іншому випадку для кожного  , позначимо   і ці множини будуть непорожніми. Введемо функцію   визначену як  .

Функція   є неперервною на компактній множині і тому набуває свого мінімального значення  . Образ   як образ компактної множини при неперервному відображенні, теж є компактною, а тому і замкнутою множиною. Оскільки   то  . Нехай число  .

Якщо   є підмножиною   діаметру  , то існує  , така що  , де   позначає кулю радіуса   з центром у точці   (за   можна обрати будь-яку точку множини  ). Оскільки   то хоча б для одного   виконується нерівність  . Але це означає, що   і тому  .

Див. також

ред.

Література

ред.
  • Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619