Відкрити головне меню

Компактна група Лі — скінченновимірна група Лі, що є компактним топологічним простором. Цей тип груп Лі має велике значення оскільки багато з найважливіших у теорії і застосуваннях прикладів груп Лі є компактними, а також зважаючи на багато властивостей і їх класифікацію, яка прямо пов'язана з класифікацією напівпростих комплексних алгебр Лі.

ПрикладиРедагувати

Наступні приклади зв'язаних компактних груп Лі відіграють важливу роль в загальній структурній теорії компактних груп Лі, а також мають численні застосування у різних розділах математики і інших наук:

  1. Мультиплікативна група   всіх комплексних чисел, рівних по модулю 1.
  2. Група   всіх комплексних унітарних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна унітарна група).
  3. Група   всіх дійсних ортогональних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна ортогональна група).
  4. Спінорна група  . Дана група є універсальним накриттям групи  
  5. Група   всіх матриць  , що також є симплектичними матрицями, тобто для них виконується рівність   де матриця   є блоковою матрицею виду
 
і Т — знак транспонування, а  одинична матриця порядку n. Група   називається симплектичною групою.

ВластивостіРедагувати

Класифікація дійсних компактних груп ЛіРедагувати

Якщо   — компонента зв'язності одиничного елемента компактної групи Лі  , то група компонент зв'язності   є скінченною. Тобто   є скінченним розширенням зв'язаної групи

 

Таким чином задача класифікації компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних компактних груп Лі. Ця класифікація була здійснена у працях Елі Картана і Германа Вейля.

Усі зв'язані комутативні компактні групи Лі є торами тобто групами виду

 
де в правій стороні є n множників.

Серед некомутативних компактних груп Лі особливе значення мають зв'язані напівпрості компактні групи Лі, тобто групи, що не мають нетривіальних нормальних абелевих підгруп або, еквівалентно алгебри Лі яких є напівпростими.

Якщо   — зв'язана напівпроста компактна група Лі, то універсальне накриття   групи   також є компактною групою Лі (теорема Beйля). Центр   групи   є скінченною множиною, а всі зв'язані групи Лі, що є локально ізоморфними групі  , є компактними і з точністю до ізоморфізму є групами виду  , де  

Довільні зв'язані компактні групи Лі з точністю до ізоморфізму є факторгрупами виду:

 
де   — зв'язана однозв'язна напівпроста компактна група Лі з центром  ,   — тор, a   — скінченна підгрупа в групі   що перетинається з   лише по одиниці.

Таким чином, класифікація зв'язаних компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних однозв'язних напівпростих компактних груп Лі (або, що те ж, напівпростих компактних алгебр Лі) і опису їх центрів.

Напівпрості компактні алгебри Лі знаходяться у взаємно однозначній відповідності з напівпростими комплексними алгебрами Лі (і тим самим з їх системами коренів). А саме, якщо   — напівпроста компактна алгебра Лі, то її комплексифікація є напівпростою комплексною алгеброю Лі. Навпаки, для будь-якої напівпростої алгебри Лі над існує, і притому єдина з точністю до спряженості, компактна дійсна форма.

Остаточний результат класифікації простих компактних алгебр Лі та відповідних їм зв'язаних однозв'язних компактних груп Лі такий.

Є 4 нескінченних серії так званих класичних простих компактних алгебр Лі, які відповідають таким серіям незвідних наведених коренів:

 

Ці алгебри Лі є алгебрами Лі відповідно компактних груп        

Крім них є ще лише п'ять так званих виняткових простих компактних алгебр Лі, що відповідають системам коренів типів  ,  ,  ,   і  . Будь-яка компактна проста алгебра Лі є ізоморфна одній з цих алгебр Лі, а самі вони є попарно неізоморфними одна одній.

Відповідно описані прості компактні групи Лі є усіма простими компактними однозв'язними групами Лі, а в попередній формулі   група   є добутком скінченної кількості таких груп. Це завершує класифікацію

Комплексні компактні групи ЛіРедагувати

Будь-яка компактна група Лі є дійсною аналітичною групою. Комплексні компактні аналітичні групи називаються також комплексними компактними групами Лі. Всяка зв'язана комплексна компактна група Лі (як комплексна група Лі) ізоморфна комплексному тору   де  дискретна підгрупа рангу 2n в і (як дійсна група Лі) ізоморфна  . Два комплексних тора   є ізоморфними (як комплексні групи Лі) тоді і тільки тоді, коли   для деякого  

ЛітератураРедагувати

  • Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970
  • Bröcker, T.; tom Dieck, T. (1985). Representations of Compact Lie Groups. Graduate Texts in Mathematics 98. Springer. ISBN 3540136789. 
  • Dieudonné, J. (1977). Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI. Treatise on analysis 5. Academic Press. ISBN 012215505X. 
  • Fegan, Howard D (1991). Introduction To Compact Lie Groups. Series in Pure Mathematics. World Scientific. ISBN 9810236867. 
  • Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics 222 (вид. 2nd). Springer. ISBN 0-387-40122-9. 
  • John F. Price (1977). Lie groups and compact groups. London Mathematical Society lecture note series 25. Cambridge University Press. ISBN 9780521213400. 
  • Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics 235. Springer. ISBN 0387302638.