Компактна група Лі

Компактна група Лі — скінченновимірна група Лі, що є компактним топологічним простором. Цей тип груп Лі має велике значення оскільки багато з найважливіших у теорії і застосуваннях прикладів груп Лі є компактними, а також зважаючи на багато властивостей і їх класифікацію, яка прямо пов'язана з класифікацією напівпростих комплексних алгебр Лі.

Приклади

Наступні приклади зв'язаних компактних груп Лі відіграють важливу роль в загальній структурній теорії компактних груп Лі, а також мають численні застосування у різних розділах математики і інших наук:

1. Мультиплікативна група $T^{1}$ всіх комплексних чисел, рівних по модулю 1.
2. Група $\operatorname {SU} (n)$ всіх комплексних унітарних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна унітарна група).
3. Група $\operatorname {SO} (n)$ всіх дійсних ортогональних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна ортогональна група).
4. Спінорна група $\operatorname {Spin} (n)$. Дана група є універсальним накриттям групи $\operatorname {SO} (n).$
5. Група $\operatorname {Sp} (n)$ всіх матриць $X\in \operatorname {SU} (2n)$, що також є симплектичними матрицями, тобто для них виконується рівність $X\Omega X^{T}=\Omega$ де матриця $\Omega$ є блоковою матрицею виду

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}$

і Т — знак транспонування, а $I_{n}$ — одинична матриця порядку n. Група $\operatorname {Sp} (n)$ називається симплектичною групою.

Властивості

• На довільній компактній топологічній групі, що також є топологічним многовидом можна ввести структуру групи Лі.
• Кількість компонент зв'язності є скінченною.
• Якщо компактна група Лі є зв'язаною, то експонента є сюр'єктивним відображенням. Для довільних компактних груп Лі образом експоненти є компонента зв'язності одиничного елемента.
• Для довільного лінійного представлення $(\pi ,V)$ групи $G$ на скінченновимірному просторі $V$ можна обрати такий скалярний добуток, що всі лінійні перетворення $\pi (V)$ будуть унітарними (ортогональними для дійсних векторних полів).
• Алгебра Лі компактної групи може бути записана у виді прямої суми ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {z}}\oplus [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ де ${\mathfrak {z}}$ — центр алгебри, і форма Кіллінга є від'ємноозначеною на підалгебрі $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].$

Класифікація дійсних компактних груп Лі

Якщо $G_{0}$ — компонента зв'язності одиничного елемента компактної групи Лі $G$, то група компонент зв'язності $G/G_{0}$ є скінченною. Тобто $G$ є скінченним розширенням зв'язаної групи

$1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.\,$

Таким чином задача класифікації компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних компактних груп Лі. Ця класифікація була здійснена у працях Елі Картана і Германа Вейля.

Усі зв'язані комутативні компактні групи Лі є торами тобто групами виду

$T^{n}=T^{1}\times T^{1}\times \ldots \times T^{1},$

де в правій стороні є n множників.

Серед некомутативних компактних груп Лі особливе значення мають зв'язані напівпрості компактні групи Лі, тобто групи, що не мають нетривіальних нормальних абелевих підгруп або, еквівалентно алгебри Лі яких є напівпростими.

Якщо $G$ — зв'язана напівпроста компактна група Лі, то універсальне накриття ${\bar {G}}$ групи $G$ також є компактною групою Лі (теорема Вейля). Центр $Z$ групи ${\bar {G}}$ є скінченною множиною, а всі зв'язані групи Лі, що є локально ізоморфними групі $G$, є компактними і з точністю до ізоморфізму є групами виду ${\bar {G}}/D$, де $D\subset Z.$

Довільні зв'язані компактні групи Лі з точністю до ізоморфізму є факторгрупами виду:

$(K\times T)/D$

де $K$ — зв'язана однозв'язна напівпроста компактна група Лі з центром $Z$, $T$ — тор, a $D$ — скінченна підгрупа в групі $Z\times T$ що перетинається з $T$ лише по одиниці.

Таким чином, класифікація зв'язаних компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних однозв'язних напівпростих компактних груп Лі (або, що те ж, напівпростих компактних алгебр Лі) і опису їх центрів.

Напівпрості компактні алгебри Лі знаходяться у взаємно однозначній відповідності з напівпростими комплексними алгебрами Лі (і тим самим з їх системами коренів). А саме, якщо ${\mathfrak {g}}$ — напівпроста компактна алгебра Лі, то її комплексифікація є напівпростою комплексною алгеброю Лі. Навпаки, для будь-якої напівпростої алгебри Лі над існує, і притому єдина з точністю до спряженості, компактна дійсна форма.

Остаточний результат класифікації простих компактних алгебр Лі та відповідних їм зв'язаних однозв'язних компактних груп Лі такий.

Є 4 нескінченних серії так званих класичних простих компактних алгебр Лі, які відповідають таким серіям незвідних наведених коренів:

$A_{n},\;n\geqslant 1;\;\;B_{n},\;n\geqslant 2;\;\;C_{n},\;n\geqslant 3;\;\;D_{n},\;n\geqslant 4.$

Ці алгебри Лі є алгебрами Лі відповідно компактних груп $\operatorname {SU} (n+1),\;\;$ $\operatorname {Spin} (2n+1),\;\;$ $\operatorname {Sp} (n),\;\;$ $\operatorname {Spin} (2n).\;\;$

Крім них є ще лише п'ять так званих виняткових простих компактних алгебр Лі, що відповідають системам коренів типів $G_{2}$, $F_{4}$, $E_{6}$, $E_{7}$ і $E_{8}$. Будь-яка компактна проста алгебра Лі є ізоморфна одній з цих алгебр Лі, а самі вони є попарно неізоморфними одна одній.

Відповідно описані прості компактні групи Лі є усіма простими компактними однозв'язними групами Лі, а в попередній формулі $(K\times T)/D$ група $K$ є добутком скінченної кількості таких груп. Це завершує класифікацію

Комплексні компактні групи Лі

Будь-яка компактна група Лі є дійсною аналітичною групою. Комплексні компактні аналітичні групи називаються також комплексними компактними групами Лі. Всяка зв'язана комплексна компактна група Лі (як комплексна група Лі) ізоморфна комплексному тору $\mathbb {C} /\Gamma$ де $\Gamma$ — дискретна підгрупа рангу 2n в і (як дійсна група Лі) ізоморфна $T^{2n}$. Два комплексних тора $\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ є ізоморфними (як комплексні групи Лі) тоді і тільки тоді, коли $\Gamma _{2}=g(\Gamma _{1})$ для деякого $g\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} ).$

Література

• Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970
• Bröcker, T.; tom Dieck, T. (1985), Representations of Compact Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, т. 98, Springer, ISBN 3540136789
• Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, Treatise on analysis, т. 5, Academic Press, ISBN 012215505X
• Fegan, Howard D (1991), Introduction To Compact Lie Groups, Series in Pure Mathematics, World Scientific, ISBN 9810236867
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 0-387-40122-9
• John F. Price (1977), Lie groups and compact groups, London Mathematical Society lecture note series, т. 25, Cambridge University Press, ISBN 9780521213400
• Sepanski, Mark R. (2007), Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, т. 235, Springer, ISBN 0387302638