Теорема Больцано — Вейєрштрасса

У математичному аналізі теоремою Больцано-Вейєрштрасса називають таке твердження:

Будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел містить збіжну до дійсного числа підпослідовність.

Про узагальнення цієї теореми в топології. Нехай  — топологічний простір, - підмножина Тоді:

  • Якщо компактна, то для будь-якої послідовності з гранична точка цієї послідовності також належить .
  • І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього задовільняє другу аксіому зліченності, то є компактною підмножиною.

Зокрема якщо задовільняє другу аксіому зліченності, то буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з гранична точка належить їй.

ІсторіяРедагувати

Ця теорема доведена чеським математиком Бернардом Больцано в 1817 році, пізніше була незалежно отримана Карлом Вейєрштрасом.

ЛітератураРедагувати

  • R.Wald, General Relativity.