Обмежена послідовність

Числова послідовність $\{a_{n}:n\geq 1\}$ називається обмеженою, якщо $\exists C\in \mathbf {R^{+}} \quad \forall n\geq 1:|a_{n}|\leq C$, тобто множина її значень є обмеженою.

• Послідовність {$x_{n}$} називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке дійсне число M (число m), що кожен елемент $x_{n}$ послідовності {$x_{n}$} задовільняє нерівність $x_{n}$ ≤ M ($x_{n}$ ≥ m).При цьому число M (число m) називають верхньою (нижньою) межею послідовності.

• Послідовність {$x_{n}$} називається обмеженою з двох сторін або просто обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу, тобто існують такі числа m і M, що m ≤ $x_{n}$ ≤ M., або |$x_{n}$| ≤ A, де A = max{M, m}.

Якщо послідовність є збіжною, то вона буде обмеженою.

Властивості

Добуток обмеженої і нескінченно малої послідовностей дає нескінченно малу послідовність.

Монотонно зростаюча обмежена зверху (або монотонно спадаюча обмежена знизу) послідовність має скінченну границю.

Див. також

• Верхня та нижня межа
• Обмежена множина
• Обмежена функція

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)