Обмежена функція

У математиці функція f, визначена на деякій множині X з дійсними або комплексними значеннями, називається обмеженою, якщо множина її значень обмежена. Іншими словами, існує дійсне число M таке, що

Схематична ілюстрація обмеженої функції (червона) та необмеженої функції (синя). Інтуїтивно зрозуміло, що графік обмеженої функції залишається в межах горизонтальної смуги, тоді як графік необмеженої функції - ні.

для всіх x у X. Функція, яка не є обмеженою, називається необмеженою.

Якщо f є дійсним значенням і f ( x ) ≤ A для всіх x у X, тоді функція називається обмеженою зверху A. Якщо f ( x ) ≥ B для всіх x у X, то функція називається обмеженою знизу B. Дійсна функція обмежена тоді і лише тоді, коли вона обмежена зверху та знизу.

Важливим особливим випадком є обмежена послідовність, де X приймається як множина N натуральних чисел . Таким чином, послідовність f = ( a 0, a 1, a 2, ...) обмежена, якщо існує дійсне число M таке, що

для кожного натурального числа n . Сукупність усіх обмежених послідовностей утворює простір послідовностей .

Визначення обмеженості можна узагальнити на функції f : X → Y приймає значення в більш загальному просторі Y, якщо відображення f (X) обмежена множина у Y.

Суміжні поняттяРедагувати

Слабшим за обмеженість поняттям є поняття локальної обмежености. Сімейство обмежених функцій може бути рівномірно обмеженим.

Обмежений оператор T : X → Y не є обмеженою функцією у значенні визначення цієї сторінки (якщо T = 0 ), але має слабшу властивість зберігати обмеженість: Обмежені множини M ⊆ X відображаються в обмежені множини T (M) ⊆ Y. Це визначення можна поширити на будь-яку функцію f : XY, якщо X і Y допускають поняття обмеженої множини. Обмеженість також можна визначити графічно.

ПрикладиРедагувати

  • Функція sin : RR обмежена.
  • Функція   визначена для всіх дійсних x, крім −1 та 1 необмежена. Коли x наближається до -1 або 1, значення цієї функції зростають щораз більше. Цю функцію можна зробити обмеженою, якщо розглядати її на відрізку, наприклад, [2, ∞) або (−∞, −2].

Див. такожРедагувати