Норма матриці

(Перенаправлено з Норма Фробеніуса)

У математиці, нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці.

Нехай у просторі векторів визначена норма вектора . Тоді нормою матриці називають число .

Прямі виразиРедагувати

У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:

  1.  . Тоді
     
  2.  . Тоді
     
  3.  . Тоді
     ,
    де  власні значення матриці  .

Векторні нормиРедагувати

Матрицю розмірності   можна трактувати як вектор довжини   і застосовувати до нього норму вектора.

Норма ФробеніусаРедагувати

Виглядає так:

 

Властивості норми матриціРедагувати

Хай   позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай   позначає векторний простір, що містить всі матриці з   рядків та   стовпців з елементами типу  .

Якщо   позначає норму матриці  , тоді для неї виконуються такі властивості:

  •   якщо   та   тоді і тільки тоді, коли  
  •   та  
  •  

Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:

  •   для всіх   та   з  

Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).

Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.

Узгоджені нормиРедагувати

Матрична норма   на   називається узгодженою (англ. consistent) з векторними нормами   і   на   і   відповідно, якщо:

 

для всіх  . Усі індуковані норми узгодженні за означенням.

Сумісні нормиРедагувати

Матрична норма   на   називається сумісною (англ. compatible) з векторною нормою   на   якщо:

 

для всіх  . Індукована норма сумісна за означенням.

ПосиланняРедагувати

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.