Теорема Вайтхеда

У алгебричній топології теорема Вайтхеда стверджує, що якщо неперервне відображення f між CW-комплексами X і Y породжує ізоморфізми на всіх групах гомотопій, то f є гомотопною еквівалентністю. Теорему довів у 1949 році англійський математик Джон Вайтхед для демонстрації корисності введеного ним поняття CW-комплексу.

Твердження

Нехай X і Y є топологічними просторами. Неперервне відображення

$f\colon X\to Y$

для будь якої точки x у X і довільного n ≥ 1 породжує гомоморфізм

$f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x)),$

де π_n(X,x) позначає n-ну групу гомотопій простору X із виділеною точкою x. (Для n = 0, π₀(X) позначає множину компонент лінійної зв'язності простору X.) Відображення f називається слабкою гомотопною еквівалентністю якщо функція

$f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

є бієкцією і гомоморфізми f_* є ізоморфізмами для всіх x у X і всіх n ≥ 1. (Якщо X і Y є лінійно зв'язними то перша умова виконується автоматично, а другу можна перевірити для довільної єдиної точки x у X.)

Теорема Вайтхеда стверджує, що слабка гомотопна еквівалентність між двома CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю, тобто для відображення f: X → Y існує гомотопно обернене g: Y → X. Як наслідок таке твердження є справедливим і для просторів X і Y, що є гомотопно еквівалентними до CW-комплексів.

Поєднуючи твердження теореми із теоремою Гуревича одержується важливий наслідок: неперервне відображення $f\colon X\to Y$ між однозв'язними CW-комплексами, що породжує ізоморфізми на всіх всіх сингулярних гомологічних групах (із цілочисловими коефіцієнтами) є гомотопною еквівалентністю.

Простори із ізоморфними групами гомотопій можуть не бути гомотопно еквівалентними

У твердженні теореми не достатньо вимагати ізоморфізму груп π_n(X) і π_n(Y) для всіх n для того щоб простори X і Y були гомотопно еквівалентні. Необхідно щоб ізоморфізми груп гомотопій породжувалися відображеннями f : X → Y. Наприклад нехай X= S² × RP³ і Y= RP² × S³. Тоді X і Y мають ізоморфні фундаментальні групи, що є ізоморфними Z/2, і універсальні накриваючі простори гомеоморфні S² × S³; тому їх групи гомотопій є ізоморфними. З іншої сторони їх групи гомологій є різними і тому X і Y не є гомотопно еквівалентними.

Теорема Вайтхеда не є справедливою для всіх топологічних просторів. Наприклад для варшавського кола, що є компактною підмножиною площини, всі групи гомотопій є тривіальними, але відображення із варшавського кола і одноточковий простір не є гомотопною еквівалентністю.

Доведення теореми

Лема 1

Нехай $(X,Y)$ є парою топологічних просторів для яких включення $i:Y\to X$ є слабкою гомотопною еквівалентністю. Нехай $K$ є CW-комплексом, із виділеною точкою, яка є 0-клітиною. Тоді для будь-якої виділеної точки у $Y$, індуковане відображення класів гомотопії $i_{*}:[K,Y]\to [K,X]$ (для класу гомотопії $[f]\in [K,Y]$ за означенням $i_{*}[f]=[i\circ f]\in [K,X]$) є бієкцією.

Доведення леми

Спершу доведемо, що $i_{*}$ є сюр'єктивним. Нехай $f:K\to X$ є неперервним відображенням із збереженням виділених точок. За допомогою індукції по розмірності кістяків комплексу $K$ доведемо, що $f$ можна гомотопно деформувати так щоб образ при одержаному відображенні належав $Y$. Також при цьому для будь-якого підкомплекса $L$ у $K$ образ якого при відображенні $f$ належить $Y$, тоді $f(L\times I)$ не залежить від $t\in I,$ зокрема гомотопія зберігає виділену точку.

Для підкомплекса $L$ і кістяка $K^{n}$ позначимо $M^{n}=K^{n}\cup L$ і продовжимо $f$ на $(K\times 0)\cup (L\times I)$ як $f(x,0)=f(x),\ x\in K$ і $f(y,t)=f(y),\ y\in L,t\in [0,1]$. Оскільки включення $Y$ у $X$ є слабкою гомотопною еквівалентністю, то зокрема перетин кожної лінійної компоненти зв'язності простору $X$ із підпростором $Y$ є лінійною компонентою зв'язності у $Y$. Звідси якщо $x$ є будь-якою 0-клітиною у $K\setminus L$, тоді існує шлях $u:I\to X$ для якого $u(0)=f(x)$ і $u(1)\in Y.$

Відображення $f$ можна продовжити на $M^{0}\times I$ як $f(x,t)=u(t),\ 0<f<1.$ Таким чином одержується база індукції.

Припустимо тепер, що відображення $f$ продовжено до відображення $f:(K\times 0)\cup (M^{n-1}\times I)\to X$ для якого $f(M^{n-1}\times 1)\subset Y.$

Для кожної n-клітини $\varphi _{\alpha }(\Delta ^{n})$ у $K\setminus L$, розглянемо композицію відображень

$(\Delta ^{n}\times 0)\cup (S^{n-1}\times I)\xrightarrow {\varphi _{\alpha }\times 1} (K\times 0)\cup (M^{n_{1}}\times I)\xrightarrow {f} X,$

при якому образ $S^{n-1}\times I$ є підмножиною $Y.$

Визначимо гомеоморфізм $h$ із $\Delta ^{n}\times I$ у себе заданий у граничних точках як:

$h(x,0)=(x/2,0),\quad x\in \Delta ^{n}$

$h(x,t)=\left({\frac {1+t}{2}}x,0\right),\quad x\in S^{n-1},t\in [0,1]$

$h(x,1)=(x/|x|,2-2|x|),\quad x\in \Delta ^{n},|x|\geqslant 1/2$

$h(x,1)=(2x,1),\quad x\in \Delta ^{n},|x|\leqslant 1/2.$

У внутрішніх точках $\Delta ^{n}\times I$ гомеоморфізм $h$ можна задати розглянувши $\Delta ^{n}\times I$ як джойн множини $(\Delta ^{n}\times 0)\cup (S^{n-1}\times I)\cup (\Delta ^{n}\times 1)$ і точки (0, 1/2). Тоді за означенням $h(0,1/2)=(0,1/2),$ а всі інші внутрішні точки $\Delta ^{n}\times I$ можна однозначно записати як $t(0,1/2)+(1-t)x$ де $t\in (0,1),$ а $x$ є деякою граничною точкою у $\Delta ^{n}\times I.$ При такому записі можна одержати значення гомоморфізму як $h(t(0,1/2)+(1-t)x)=t(0,1/2)+(1-t)h(x)$ де $h(x)$ для граничної точки визначено вище.

Для такого гомеоморфізму $h$ відображення $f\circ (\varphi _{\alpha }\times 1)\circ h^{-1}$ є відображенням із пари просторів $(\Delta ^{n},S^{n-1})$ у пару просторів $(X,Y)$ і тому є елементом відносної гомотопної групи $\pi _{n}(X,Y)$, для деякої виділеної точки. Але $\pi _{n}(X,Y)$ є тривіальною групою і тому $f\circ (\varphi _{\alpha }\times 1)\circ h^{-1}$ можна продовжити до відображення із $\Delta ^{n}\times I$ при якому образи $\Delta ^{n}\times 1$ і $S^{n-1}\times I$ належать $Y.$ Тоді після ще одного застосування $h$ відображення $f\circ (\varphi _{\alpha }\times 1)$ можна продовжити до відображення із $\Delta ^{n}\times I$ при якому образ $\Delta ^{n}\times 1$ належать $Y.$ Цей процес задає неперервне продовження

$f:(K\times 0)\cup (M^{n}\times I)\to X$

для якого $f(M^{n}\times 1)\subset Y$ і як наслідок неперервне продовження $f:K\times I\to X$ для якого $f(K\times 1)\subset Y.$ Тому $i_{*}:[K,Y]\to [K,X]$ є сюрєкцією.

Для доведення ін'єктивності нехай $f,g:K\to Y$ є неперервними відображеннями із збереженням виділеної точки для яких $i\circ f$ і $i\circ g$ є гомотопними за допомогою точкової гомотопії $F:K\times I\to X.$ Оскільки $K\times I$ є CW-комплексом і $(K\times 0)\cup (k_{0}\times I)\cup (K\times 1)$ є підкомплексом, то із доведеної властивості сюр'єктивності $F$ можна гомотопно деформувати у відображення $G:K\times I\to Y,$ що збігається з $F$ на $(K\times 0)\cup (k_{0}\times I)\cup (K\times 1).$ Тобто $G$ є гомотопією між $f$ і $g$ із збереженням виділеної точки.

Лема 2

Для слабкої гомотопної еквівалентності $f:Y\to X$ із збереженням виділених точок і CW-комплекса $K$ для якого виділена точка є 0-клітиною, відображення $f_{*}:[K,Y]\to [K,X]$ між класами гомотопії є бієктивним.

Доведення

Відображення $f:Y\to X$ є композицією відображень

$Y\xrightarrow {g} M_{f}\xrightarrow {h} X$

де $M_{f}$ є циліндром відображення, $g$ є ін'єктивним відображенням, а $h$ є гомотопною еквівалентністю. Оскільки $f$ і $h$ є слабкими гомотопними еквівалентностями, то і $g$ є слабкою гомотопною еквівалентністю. Тому $g_{*}:[K,Y]\to [K,M_{f}]$ є бієкцією. Оскільки і $h_{*}$ є бієкцією, то бієкцією є і $f_{*}$.

Доведення теореми Вайтхеда

Нехай X і Y є CW-комплексами і f — слабка гомотопічна еквівалентність між ними. Згідно попередньої леми відображення $f_{*}:[Y,X]\to [Y,Y]$ є бієкцією, тому існує неперервне відображення $g:Y\to X,$ таке що $f\circ g$ є гомотопним одиничному відображенню на $Y.$ Тоді $g$ теж є слабкою гомотопною еквівалентністю і також існує відображення $f':X\to Y,$ для якого $g\circ f'$ є гомотопним одиничному відображенню на $X.$. Але тоді (де $\simeq$ позначає гомотопну еквівалентність):

$f'\simeq (f\circ g)\circ f'\simeq f\circ (g\circ f')\simeq f$

тож також $g\circ f\simeq 1_{X}$ і $g$ є гомотопним оберненим до $f$.

Див. також

• CW-комплекс

Джерела

• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
• J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
• A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0 (see Theorem 4.5)
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4