Сингулярні гомології

Сингулярні гомології — гомології, що визначаються виходячи з сингулярних симплексів топологічного простору X таким же чином, як звичайні (симпліціальні) гомології (і когомології) поліедра — виходячи з лінійного симплексу.

У категорії поліедрів сингулярна теорія еквівалентна симпліціальній (а також клітинній). Цим звичайно встановлюється топологічна інваріантність останніх. Проте значення груп сингулярних гомологій цим не вичерпується. Маючи простий опис, вони застосовні у достатньо широких категоріях гомотопно інваріантних топологічних просторів. Природні зв'язки з теорією гомотопій роблять сингулярну теорію незамінною в гомотопній топології.

Проте, хоча групи сингулярних гомологій визначені для будь-яких топологічних просторів без яких-небудь обмежень їх застосування виправдане лише при істотних обмеженнях типу локальної стягуваності або гомологічної локальної зв'язності. Сингулярні ланцюги, будучи за своєю природою «дуже» лінійно зв'язними, не несуть в собі інформацію про «неперервні» цикли, якщо вони не є «достатньо» лінійно зв'язними. Тому в загальних категоріях топологічних просторів замість сингулярних звичайно використовуються когомології Александрова — Чеха і асоційовані з ними гомології.

ОзначенняРедагувати

Під сингулярним симплексом   розуміється неперервне відображення n-вимірного стандартного симплекса   причому образ   звичайно називається носієм   і позначається  . Сингулярні ланцюги — формальні лінійні комбінації сингулярних симплексів з коефіцієнтами в абелевій групі G. Вони утворюють групу Cn(X, G). Групи ланцюгів об'єднуються в сингулярний ланцюговий комплекс   з граничним гомоморфізмом  , що визначається співвідношенням:

 

де  

Ядро граничного оператора позначається  , і називається групою сингулярних n-циклів. Образ граничного оператора позначається   і називається групою сингулярних n-границь.

Також виконується рівність   n-на гомологічна група простору X визначається як факторгрупа:

 

Сингулярні когомологіїРедагувати

Сингулярні когомології визначаються двоїстим чином. Комплекс коланцюгів   визначається як комплекс гомоморфізмів в G комплексу цілочислових сингулярних ланцюгів  . Менш формально, коланцюги — функції ξ, визначені на сингулярному симплексі, що приймають значення в G, а кограничний гомоморфізм d визначається формулою:

 

Сингулярні когомології   — це факторгрупи груп n-вимірних коциклів (ядер  ) за підгрупами кограниць (образів  ).

Гомології і когомології з коефіцієнтами в довільній групі G можуть бути виражені через цілочислові гомології за допомогою формул універсальних коефіцієнтів. Когомології з коефіцієнтами в групі G пов'язані з цілочисловими когомологіями формулами універсальних коефіцієнтів лише для скінченно породжених груп G.

f# і g#.

Гомотопна інваріантністьРедагувати

Якщо X і Y є двома гомотопно еквівалентними топологічними просторами, то

 

для всіх n ≥ 0. Це означає, що сингулярні гомологічні групи є гомотопними інваріантами.

Зокрема, якщо X зв'язаним стягуваним простором, то всі його гомологічні групи є тривіальними, за винятком  .

Більш загально, кожне неперервне відображення f: XY породжує гомоморфізми

 

для яких

 

тобто f# є ланцюговим гомоморфізмом і відповідно породжує гомоморфізм на групах гомології

 

Тоді якщо f і g є гомотопними відображеннями, то f* = g*. Як наслідок, якщо f є гомотопною еквівалентністю, то f* є ізоморфізмом, оскільки існує неперервне відображення h: YX для якого   і   є гомотопними відповідним тотожним відображенням. Тому   і   є тотожними гомоморфізмами на   і   відповідно, тож h* є оберненим гомоморфізмом до f*.

Для доведення факту, що f* = g* для гомотопних відображень, достатньо побудувати ланцюгову гомотопію:

 

між ланцюговими гомоморфізмами f# і g#.

Нехай F : X × [0, 1] → Y є гомотопією між f і g. Вона породжує ланцюгові гомоморфізми :  Якщо   і   є відповідними вкладеннями то достатньо побудувати ланцюгову гомотопію

 

між   і  . Тоді   буде необхідною ланцюговою гомотопією між f# і g#.

Оскільки   відображає базові елементи σ: ΔnX із Cn(X) у елемент із Cn+1(X × [0, 1]) то має зміст розглянути Δn × [0, 1]. Цей топологічний простір можна триангулювати індукцією по розмірності кістяка. Для розмірності 0 кістяк (Δn)0 є множиною точок і (Δn)0 × [0, 1] є симпліціальним комплексом. Якщо побудована триангуляція для всіх k < r і λ є деяким симплексом розмірності r, то для границі   існує триангуляція простору   Якщо позначити   точку   для барицентра b відповідного симплекса то симплексами у триангуляції (Δn)r × [0, 1] будуть усі симплекси μ із триангуляції (Δn)r - 1 × [0, 1], а також симплекси виду   для симплексів μ із триангуляції   (тобто симплекси вершинами яких є   і вершини симплекса μ) для всіх симплексів λ розмірності r і самі точки   для цих симплексів. Для r = n зокрема одержується триангуляція Δn × [0, 1].

Припустимо, що вже побудовано   для всіх r < n і всіх просторів X (для r < 0 можна взяти нульовий гомоморфізм). Для сингулярного симплекса σ: ΔnX визначимо:

 

Вище позначено точку   для барицентра b і для довільного симплекса   вираз   позначає симплекс із вершинами із   і a із продовженням по лінійності. Також за індукцією   є лінійною комбінацією симпліціальних відображень.

Тому

 

Але із припущення індукції друга половина у цьому виразі є рівною нулю і тому

 

що завершує індуктивний крок у побудові гомоморфізму   і відповідно також гомоморфізму P який і буде ланцюговою гомотопією між f# і g#.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — Москва: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — Москва: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — Москва: МЦНМО, 2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — Москва: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. —Москва: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — Москва: Наука, 1989