∪-добуток

$\smile$ -добуток (кап-добуток, cup product, добуток Колмогорова — Александера) — в алгебраїчній топології операція, що двом групам сингулярних когомологій порядків p і q ставить у відповідність групу порядку p + q. З цим добутком когомології на просторі X утворюють градуйоване кільце, що позначається H^∗(X).

Означення

Нехай X — топологічний простір і $H^{n}(X)$ — відповідні сингулярні когомології. Для стандартного симплекса $\Delta ^{n}=\{(t_{0},\dots t_{n})\mid {(\sum _{i}t_{i}=1)}\wedge {(\forall i\;t_{i}\geqslant 0)}\}$ і для підмножини $S\subset \{0,\ldots ,n\}$ нехай $\iota _{S}$ позначає стандартне вкладення симплекса, що є опуклою комбінацією вершин $e_{i},\;\;i\in S$ у симплекс $\Delta ^{n}.$ $e_{i}$ в попередньому позначає точку в $\mathbb {R} ^{n+1}$ де i-та координата рівна 1, а всі решта 0 (нумерація координат є від 0 до n).

Для початку добуток визначається для коланцюгів: якщо c^p — p-коланцюг і d^q — q-коланцюг, то значення їх $\smile$ -добутку на базових сингулярних симплексах $\sigma =\sigma (\Delta ^{n})$ за означенням рівне:

(c^{p}\smile d^{q})(\sigma )=c^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})

Кограниця двох коланцюгів c^p і d^q відповідно рівна

\delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}}).

З цієї формули відразу випливає, що $\smile$ -добуток двох коциклів теж є коциклом. Також $\smile$ -добуток кограниці і коциклу в довільному порядку є кограницею. Дійсно, якщо наприклад dq є коциклом то з попередньої формули його добуток з кограницею $\delta {c^{p}}$ рівний $\delta {c^{p}}\smile d^{q}=\delta (c^{p}\smile d^{q}),$ тобто теж є кограницею.

Таким чином введений добуток індукує добуток на когомологічних групах

H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).

Властивості

$\smile$ -добуток задовольняє такі властивості з яких зокрема випливає, що $H^{*}(X)$ з операціями додавання і $\smile$ -добутку є кільцем:

\alpha \smile \beta =(-1)^{pq}\beta \smile \alpha

(градуйована комутативність).

f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}\alpha \smile f^{*}\beta

для гладкого відображення

f\colon Y\rightarrow X

\alpha \smile (\beta _{1}+\beta _{2})=\alpha \smile \beta _{1}+\alpha \smile \beta _{2}

(дистрибутивність)

\alpha \smile (\beta \smile \gamma )=(\alpha \smile \beta )\smile \gamma

(асоціативність).

Зв'язок з когомологіями де Рама

Для когомологій де Рама аналогом $\smile$ -добутку є звичайний зовнішній добуток диференціальних форм, що задовольняє рівності:

\mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{p}\omega \wedge \mathrm {d} \eta

.

Згідно теореми де Рама класи когомологій де Рама і сингулярних когомологій є ізоморфними. Якщо позначати $[\omega ]$ — клас когомологій диференціальної форми, то при ідентифікації згідно теореми де Рама справедливим є твердження

[\omega ]\smile [\eta ]=[\omega \wedge \eta ].

Див. також

Література

James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
Allen Hatcher, "Algebraic Topology [Архівовано 20 лютого 2012 у WebCite]", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0