Накриття (топологія)

Накриття — неперервне сюр'єктивне відображення $\ p:X\to Y$ топологічного простору X на топологічний простір Y, таке, що для будь-якої точки $x\in Y$ знайдеться окіл $U\subset Y$, повний прообраз якого $\ p^{-1}(U)$ є об'єднанням відкритих множин $V_{k}\subset X$, що не перетинаються:

Накриття відкритої множини U

$p^{-1}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots$,

причому на кожній множині $V_{k}$ відображення $p:\,V_{k}\to U$ є гомеоморфізмом між $V_{k}$ і $U$.

Пов'язані визначення

• Простір Y називається базою накриття, а X — простором накриття (або накриваючим простором).
• Прообраз $\ p^{-1}(x)$ точки $x\in Y$ називають шаром над точкою $x$.
• Число областей V_k в повному прообразі $p^{-1}(U)$ називається числом листів.
  • Якщо це число скінченне і рівне n, то накриття називається n-листовим.
• Накриття називається універсальним якщо накриваючий простір є однозв'язним.

Приклади

• Нехай $S^{1}$ позначає одиничне коло комплексної площини $S^{1}=\{z\in {\mathbb {C} ||z|=1}\}$.
  • $\ p:\mathbb {R} \to S^{1},\quad p:x\mapsto e^{2\pi ix}$.
  • $\ p:S^{1}\to S^{1},\quad p:z\mapsto z^{k}$, де $\ k\neq 0$, $k\in \mathbb {Z}$.
• Нехай $X=S^{1}\times S^{1}\,$ — тор. Тоді $\mathbb {R} ^{2}$ є накриваючим простором і накриття задається формулою:
  • $p:\mathbb {R} ^{2}\to S^{1}\times S^{1},\quad p:(x,y)\mapsto (e^{2\pi ix},e^{2\pi iy})$.

Властивості

• Нехай $p:X\to Y$ — накриття і $U\subset X$ — відкрита підмножина простору X. Тоді множина p(U) е відкритою у Y.
• Нехай $p:X\to Y$ — накриття і Z — зв'язний і локально-зв'язний простір. Нехай $a,b:Z\to X$ — неперервні відображення, що задовольняють умови

1. $p\circ a=p\circ b;$
2. $a(y_{0})=b(y_{0})\,$ для деякого $y_{0}\in Y.$

тоді $a=b.\,$

• Накриття є частковими випадками локально тривіальних розшарувань. Їх можна розглядати як локально тривіальні розшарування з дискретним шаром.

Зв'язок з фундаментальною групою

Зазвичай накриття розглядається в припущенні зв'язності $X$ і $Y$ а також локальної зв'язності і локальної однозв'язності $Y$. При цих припущеннях встановлюється зв'язок між фундаментальними групами $\pi _{1}(X,x_{0})$ і $\pi _{1}(Yy_{0})$: якщо $p(x_{0})=y_{0}$, то індукований гомоморфізм $p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Yy_{0})$, відображає $\pi _{1}(X,x_{0})$ ізоморфно на підгрупу в $\pi _{1}(Yy_{0})$ і, міняючи точку $x_{0}$ у $p^{-1}(y_{0})$, можна одержати в точності всі підгрупи з деякого класу спряжених підгруп.

Якщо цей клас складається з однієї підгрупи $H$ (тобто $H$ — нормальна підгрупа), те накриття називається регулярним. В цьому випадку виникає вільна дія групи $G=\pi _{1}(Yy_{0})/H$ на $X$, причому $p$ виявляється фактор-відображенням на простір орбіт $Y$.

Взагалі, вільні дії дискретних груп — типове джерело регулярних накриттів (над простором орбіт, хоч і не всяка така дія задає накриття, простір орбіт може виявитися невіддільним).

Ця дія породжується підняттям петель: якщо петлі $q:[0,1]\to Y$, $q(0)=q(1)=y_{0}$, зіставити єдиний шлях ${\tilde {q}}:[0,1]\to X$, для якого $q(0)=x_{0}$ і $p{\tilde {q}}=q$, то точка ${\tilde {q}}(1)$ залежатиме тільки від класу цієї петлі в $G$ і від точки $x_{0}$. Таким чином, елементу з $G$ відповідає перестановка точок в $p^{-1}(y_{0})$. Ця перестановка не має нерухомих точок, і неперервно залежить від точки $y_{0}$. Це визначає гомеоморфізм $X$, що комутує з $p$.

У загальному випадку ця конструкція визначає лише перестановку в $p^{-1}(y_{0})$, тобто дію $\pi _{1}(Yy_{0})$ на $p^{-1}(y_{0})$, що називається монодромією накриття.

Окремим випадком регулярного накриття є універсальне накриття, для якого $G=\pi _{1}(Yy_{0})$ або, що еквівалентно, X — однозв'язний простір.

Взагалі, по кожній групі $H\subset \pi _{1}(Yy_{0})$ однозначно будується накриття $p:X\to Y$, для якого образ $\pi _{1}(Xx_{0})$ є $H$.

Для будь-якого відображення $f$ лінійно зв'язного простору $(Zz_{0})$ у $(Yy_{0})$ підняття його до відображення ${\tilde {f}}:(Zz_{0})\to (X,x_{0})$ існує тоді і тільки тоді, коли образ $f(\pi _{1}(Zz_{0}))$ лежить в $H$. Між накриттями $Y$ є відношення часткового порядку (накриття деякого накриття простору X теж є накриттям простору X), подвійне включенню підгруп в $\pi _{1}(Yy_{0})$. Зокрема, універсальне накриття є єдиним максимальним елементом.

Див. також

• Фундаментальна група

Література

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М. : Наука, 1986. — 760 с.
• Хатчер А. Алгебраическая топология. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.
• Massey W. A Basic Course in Algebraic Topology. — Springer, 1991. — ISBN 0-387-97430-X.
• Singer I., Thorpe J. A. Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology. — Springer, 1967. — ISBN 0-387-90202-3.