Накриття (топологія)

топологія

Накриттянеперервне сюр'єктивне відображення топологічного простору X на топологічний простір Y, таке, що для будь-якої точки знайдеться окіл , повний прообраз якого є об'єднанням відкритих множин , що не перетинаються:

Накриття відкритої множини U
,

причому на кожній множині відображення є гомеоморфізмом між і .

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Простір Y називається базою накриття, а Xпростором накриття (або накриваючим простором).
  • Прообраз   точки   називають шаром над точкою  .
  • Число областей Vk в повному прообразі   називається числом листів.
    • Якщо це число скінченне і рівне n, то накриття називається n-листовим.
  • Накриття називається універсальним якщо накриваючий простір є однозв'язним.

ПрикладиРедагувати

  • Нехай   позначає одиничне коло комплексної площини  .
    •  .
    •  , де  ,  .
  • Нехай   — тор. Тоді   є накриваючим простором і накриття задається формулою:
    •  .

ВластивостіРедагувати

  • Нехай   — накриття і   — відкрита підмножина простору X. Тоді множина p(U) е відкритою у Y.
  • Нехай   — накриття і Zзв'язний і локально-зв'язний простір. Нехай  неперервні відображення, що задовольняють умови
  1.  
  2.   для деякого  
тоді  
  • Накриття є частковими випадками локально тривіальних розшарувань. Їх можна розглядати як локально тривіальні розшарування з дискретним шаром.

Зв'язок з фундаментальною групоюРедагувати

Зазвичай накриття розглядається в припущенні зв'язності   і   а також локальної зв'язності і локальної однозв'язності  . При цих припущеннях встановлюється зв'язок між фундаментальними групами   і  : якщо  , то індукований гомоморфізм  , відображає   ізоморфно на підгрупу в   і, міняючи точку   у  , можна одержати в точності всі підгрупи з деякого класу спряжених підгруп.

Якщо цей клас складається з однієї підгрупи   (тобто  нормальна підгрупа), те накриття називається регулярним. В цьому випадку виникає вільна дія групи   на  , причому   виявляється фактор-відображенням на простір орбіт  .

Взагалі, вільні дії дискретних груп — типове джерело регулярних накриттів (над простором орбіт, хоч і не всяка така дія задає накриття, простір орбіт може виявитися невіддільним).

Ця дія породжується підняттям петель: якщо петлі  ,  , зіставити єдиний шлях  , для якого   і  , то точка   залежатиме тільки від класу цієї петлі в   і від точки  . Таким чином, елементу з   відповідає перестановка точок в  . Ця перестановка не має нерухомих точок, і неперервно залежить від точки  . Це визначає гомеоморфізм  , що комутує з  .

У загальному випадку ця конструкція визначає лише перестановку в  , тобто дію   на  , що називається монодромією накриття.

Окремим випадком регулярного накриття є універсальне накриття, для якого   або, що еквівалентно, X — однозв'язний простір.

Взагалі, по кожній групі   однозначно будується накриття  , для якого образ   є  .

Для будь-якого відображення   лінійно зв'язного простору   у   підняття його до відображення   існує тоді і тільки тоді, коли образ   лежить в  . Між накриттями   є відношення часткового порядку (накриття деякого накриття простору X теж є накриттям простору X), подвійне включенню підгруп в  . Зокрема, універсальне накриття є єдиним максимальним елементом.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М. : Наука, 1986. — 760 с.
  • Хатчер А. Алгебраическая топология. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.
  • Massey W. A Basic Course in Algebraic Topology. — Springer, 1991. — ISBN 0-387-97430-X.
  • Singer I., Thorpe J. A. Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology. — Springer, 1967. — ISBN 0-387-90202-3.