Властивість розширення гомотопії

У математиці в області алгебричної топології властивість розширення гомотопії (або властивість продовження гомотопії) вказує, які гомотопії, задані на підпросторі, можуть бути розширені до гомотопії, заданої на більшому просторі. Властивість подовження гомотопії кофібрацій є двоїстою властивості підняття гомотопії, яка використовується для означення фібрацій .

Означення

Нехай $X\,\!$ є топологічним простором і нехай $A\subset X.$ Пара просторів $(X,A)\,\!$ має властивість розширення гомотопії, якщо, для гомотопії $f_{t}\colon A\rightarrow Y$ і неперервного відображення $F_{0}\colon X\rightarrow Y$ для якого $F_{0}|_{A}=f_{0},$ існує розширення $F_{t}\colon X\rightarrow Y$ таке, що $F_{t}|_{A}=f_{t}.$

Тобто, пара $(X,A)\,\!$ має властивість розширення гомотопії, якщо відображення $G\colon ((X\times \{0\})\cup (A\times I))\rightarrow Y$ можна поширити на відображення $G'\colon X\times I\rightarrow Y$ (тобто $G\,\!$ і $G'\,\!$ є рівними там де вони обидва є визначеними).

Якщо пара має таку властивість лише для певного кодомену $Y\,\!,$ то кажуть, що $(X,A)\,\!$ має властивість розширення гомотопії щодо $Y\,\!.$

Візуалізація

Властивість розширення гомотопії зображена на наступній схемі:

Якщо ця діаграма (без пунктирної стрілки) є комутативною (що еквівалентно умовам, наведеним вище), то пара $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, якщо існує відображення ${\tilde {f}},$ що робить усю діаграму комутативною. За допомогою каррінга відображення ${\tilde {f}}\colon X\to Y^{I}$ відповідає відображенню ${\tilde {f}}\colon X\times I\to Y.$

Діаграма вище є двоїстою діаграмі властивості підняття гомотопії. Ця двоїстість називається двоїстістю Екмана-Хілтона.

Властивості

• Якщо $X\,\!$ є клітинним комплексом і $A\,\!$ його підкомплексом, то пара $(X,A)\,\!$ задовольняє властивість розширення гомотопії.
• Пара $(X,A)\,\!$ має властивість розширення гомотопії, тоді і лише тоді коли $(X\times \{0\}\cup A\times I)$ є ретрактом $X\times I.$

Якщо дана пара має властивість розширення гомотопії, то тотожне відображення $(X\times \{0\}\cup A\times I)\to (X\times \{0\}\cup A\times I)$ можна продовжити на деяке відображення $X\times I\to (X\times \{0\}\cup A\times I).$ Отже $(X\times \{0\}\cup A\times I)$ є ретрактом $X\times I.$

Навпаки, якщо існує ретракція $f:X\times I\to (X\times \{0\}\cup A\times I)$ то будь-яке відображення $(X\times \{0\}\cup A\times I)\to Y$ можна продовжити до відображення $X\times I\to Y$ як $G=g\circ f.$ Тому пара $(X,A)\,\!$ має властивість розширення гомотопії.

• Якщо пара $(X,A)\,\!$ має властивість розширення гомотопії і X є гаусдорфовим простором, то A є замкнутою підмножиною простору X.

Справді, якщо $f:X\times I\to (X\times \{0\}\cup A\times I)$ є ретракцією, то її образ є також підпростором у $X\times I$ для точок якого $f(z)=z.$ Оскільки X (а тому і $X\times I$) є гаусдорфовим простором то $X\times \{0\}\cup A\times I$ є замкнутою підмножиною у $X\times I,$ тож A є замкнутою підмножиною простору X.

• Якщо пара $(X,A)\,\!$ має властивість розширення гомотопії, то для будь-якого топологічного простору Y пара $(X\times Y,A\times Y)\,\!$ теж має властивість розширення гомотопії.
• Якщо пара $(X,A)$ має властивість продовження гомотопії і $A$ є стягуваним простором, то відображення факторизації $q\colon X\rightarrow X/A$ є гомотопною еквівалентністю.

Нехай $f_{t}:X\to X$ є гомотопією, що продовжує гомотопію стягнення підпростору A у точку, де $f_{0}$ є тотожним відображенням. Оскільки $f_{t}(A)\subset A,\ \forall t$ то композиція $q\circ f_{t}:X\to X/A$ переправляє A у точку і тому її можна записати також як $X\xrightarrow {q} X/A\xrightarrow {{\bar {f}}_{t}} X/A$ і тому можна записати $q\circ f_{t}={\bar {f}}_{t}\circ q.$

Для t = 1 за означенням $f_{1}(A)$ є точкою до якої стягується A і тому $f_{1}$ породжує відображення $g:X/A\to X$ для якого $g\circ q=f_{1}.$ Також $q\circ g={\bar {f}}_{1}$ оскільки $q\circ g({\bar {x}})=q\circ g\circ q(x)=q\circ f_{1}(x){\bar {f}}_{1}\circ q(x)={\bar {f}}_{1}({\bar {x}}).$ Відображення g і q є гомотопно оберненими оскільки $g\circ q=f_{1}\simeq f_{0}$ через гомотопію $f_{t}$ і $q\circ q={\bar {f}}_{1}\simeq {\bar {f}}_{0}$ через гомотопію ${\bar {f}}_{t},$ а за означеннями $f_{0}$ і ${\bar {f}}_{0}$ є тотожніми відображеннями на просторах $X$ і $X/A.$

• Якщо $(X,A)$ має властивість розширення гомотопії, то включення $i\colon A\to X$ є кофібрацією. Насправді, якщо врахувати будь-яку кофібрацію $i\colon Y\to Z,$ то $\mathbf {\mathit {Y}}$ є гомеоморфним його образу при відображенні $\mathbf {\mathit {i}} .$ Це означає, що будь-яка кофібрація може розглядатися як відображення включення, що має властивість розширення гомотопії.
• Якщо $(X,A)$ і $(Y,A)$ є парами просторів із властивістю гомотопного продовження і $f\colon X\to Y$ є гомотопною еквівалентністю, що є тотожним відображенням на $A,$ то $f$ є гомотопною еквівалентністю відносно $A.$

Див. також

• Кофібрація

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Архів оригіналу за 19 травня 2018. Процитовано 20 червня 2020.
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619