Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе теорію категорій в сенсі Люстерника — Шнірельмана.

Основні результатиРедагувати

  • Якщо множина   компактна, не перетинається з краєм многовиду   і містить рівно одну критичну точку, що має індекс Морса  , то   діффеоморфна многовиду, отриманому з   приклеюванням ручки індексу k, див. хірургія.
  • Кожній функції Морса   на гладкому многовиді   (без края) відповідає гомотопічно еквівалентний многовиду   клітинний простір, клітини якого перебувають у бієктивній відповідності до критичних точок функції  , причому розмірність клітини дорівнює індексу відповідної критичної точки. Важливі наслідки цього подання:
    • Нерівність Морса.
    • Інструмент для вивчення топології многовидів. Причому важливі не тільки індекси, але і кількість критичних точок. Припустимо, на замкнутому многовиді задана функція Морса  , що має в точности   критичних точок (індекси яких невідомі), — як це впливає на топологію многовиду?

ЛітератураРедагувати

  • Милнор Дж. Теория Морса = Morse Theory. — М. : Мир, 1965. — 184 с.
  • Морс М. Вариационное исчисление в целом = The Calculus of Variations in the Large. — Ижевск : РХД, 2010. — 512 с.
  • Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М. : Наука, 1971. — 568 с.