Лема Морса

Лема Морса — твердження, яке описує будову ростка гладкої дійсної функції у невиродженій критичній точці. Названа на честь видатного американського математика Марстона Морса.

Нехай $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функція класу $\,C^{r+2}$, де $r\geq 1$, що має точку $0\in \mathbb {R} ^{n}$ своєю невиродженою критичною точкою, тобто в цій точці диференціал ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ овертається в нуль, а матриця Гессе ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}$ відмінна від нуля. Тоді в деякому околі $U$ точки $0$ існує така система $\,C^{r}$-гладких локальних координат (карта) $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ з початком у точці $0$, що для всіх $x\in U$ має місце рівність $f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$.

При цьому число $k$, що визначається сигнатурою квадратичної частини ростка $f$ в точці $0$, є індексом Морса критичної точки $0$ функції $f$.

Доведення

Линійна частина функції $\,f(x)$ в точці $0$ рівна нулю, а квадратична частина невирождена. Зробимо лінійну заміну змінних $(x_{1},\ldots ,x_{n})$, що зводить квадратичну частину до канонічного вигляду $x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$.

Потім, двічі застосовуючи лему Адамара, представимо $\,f(x)$ у вигляді

$f(x)=f(0)-x_{1}^{2}(1+h_{1}(x))-\dots -x_{k}^{2}(1+h_{k}(x))+x_{k+1}^{2}(1+h_{k+1}(x))+\dots +x_{n}^{2}(1+h_{n}(x))$,

де всі $\,h_{i}(x)$ — функциї класу $\,C^{r}$, що обертаються в нуль в точці $0$. Заміна змінних $x_{i}\to x_{i}{\sqrt {1+h_{i}(x)}}$, що визначена у деякому околі точки $0$, приводить $\,f(x)$ до необхідної форми.

Варіації та узагальнення

• Теорема Тужрона.

В околі критичної точки $0$ скінченної кратності $\mu$ існує система координат, в якій гладка функція $f(x)$ має вигляд многочлена $P_{\mu +1}(x)$ ступеня $\mu +1$ (як $P_{\mu +1}(x)$ можна взяти многочлен Тейлора функції $f(x)$ у точці $0$ у вихідних координатах). У разі невиродженої критичної точки кратність $\mu =1$, і теорема Тужрона перетворюється на лему Морса.

• Лема Морса з параметрами або лема про розщеплення особливості.

Нехай $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ — гладка функція, що має початок координат $0$ своєю критичною точкою, невиродженою за змінними $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Тоді в околі точки $0$ існують гладкі координати, в яких

$f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,$

де $\,f_{0}$ — деяка гладка функція. Це твердження дозволяє звести дослідження особливості (критичної точки) функції від $n+m$ змінних до дослідження особливості функції від меншого числа змінних (а саме, від числа змінних, рівного корангу гессіана вихідної функції).

Література

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Будь-яке видання.
• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
• Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
• Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3–140.